Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3 đường

     

Bài viết hướng dẫn cách thức ứng dụng tích phân nhằm tính diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi tía đường cong, đấy là dạng toán thường chạm chán trong...

Bạn đang xem: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3 đường


Bài viết phía dẫn phương thức ứng dụng tích phân nhằm tính diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi ba đường cong, đấy là dạng toán thường chạm chán trong chương trình Giải tích 12 chương 3: Nguyên hàm – Tích phân với Ứng dụng.

I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁNCách 1:+ Tính hoành độ giao điểm của từng cặp thiết bị thị.+ Chia diện tích s hình phẳng thành tổng của những diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi hai thiết bị thị.Cách 2:+ Vẽ những đồ thị trên và một hệ trục tọa độ.+ Từ vật dụng thị chia diện tích hình phẳng thành tổng của những diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi hai đồ dùng thị.

II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌAVí dụ 1: hotline $S$ là diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi vật dụng thị tía hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$, $y = h(x)$ (phần gạch chéo cánh trong hình mẫu vẽ bên).

*

Khẳng định nào dưới đây đúng?A. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$B. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$C. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$D. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$

Lời giải:Từ đồ gia dụng thị ta có:

*

$S = S_1 + S_2$ $ = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$Chọn giải đáp C.

Ví dụ 2: diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường $y = – x^2 + 3x$, $y = x + 1$, $y = – x + 4$ bằng:A. $frac112.$B. $frac16.$C. $frac14.$D. $frac13.$

Lời giải:Tìm các hoành độ giao điểm:$ – x^2 + 3x = x + 1$ $ Leftrightarrow – x^2 + 2x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow x = 1.$$ – x^2 + 3x = – x + 4$ $ Leftrightarrow – x^2 + 4x – 4 = 0$ $ Leftrightarrow x = 2.$$x + 1 = – x + 4$ $ Leftrightarrow 2x – 3 = 0$ $ Leftrightarrow x = frac32.$Diện tích:$S = int_1^frac32 dx $ $ + int_frac32^2 dx $ $ = int_1^frac32 (x – 1)^2 dx$ $ + int_frac32^2 (x – 2)^2 dx.$$ = left. frac(x – 1)^33 ight|_1^frac32$ $ + left. frac(x – 2)^33 ight|_frac32^2$ $ = frac112.$Chọn giải đáp A.

Ví dụ 3: diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi các đường $y = 2x^2$, $y = fracx^24$, $y = frac54x$ bằng:A. $frac632 – 54ln 2.$B. $54ln 2.$C. $ – frac632 + 54ln 2.$D. $frac634.$

Lời giải:Tìm những hoành độ giao điểm:$2x^2 = fracx^24 Leftrightarrow x = 0.$$2x^2 = frac54x Leftrightarrow x = 3.$$fracx^24 = frac54x Leftrightarrow x = 6.$Diện tích:$S = int_0^3 left $ $ + int_3^6 dx $ $ = left| int_0^3 left( 2x^2 – fracx^24 ight)dx ight|$ $ + left| int_3^6 left( frac54x – fracx^24 ight)dx ight|.$$ = left| left. frac7x^312 ight ight| + left| left. left( 54ln x – fracx^312 ight) ight ight|$ $ = 54ln 2.$Chọn lời giải B.

Ví dụ 4: diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi các đường $y = e^x$, $y = 3$, $y = 1 – 2x$ bằng:A. $5 – 3ln 3.$B. $3ln 3 – 5.$C. $3ln 3 – 1.$D. $S = 3ln 3 + 2e – 5.$

Lời giải:Tìm những hoành độ giao điểm:$e^x = 3 Leftrightarrow x = ln 3.$$3 = 1 – 2x Leftrightarrow x = – 1.$$e^x = 1 – 2x$ $ Leftrightarrow e^x + 2x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow x = 0$ (vì $f(x) = e^x + 2x – 1$ đồng biến trên $R$ với $x=0$ là 1 trong những nghiệm của phương trình $e^x + 2x – 1 = 0$).Diện tích:$S = int_ – 1^0 3 – (1 – 2x) ight $ $ + int_0^ln 3 dx .$$ = left| int_ – 1^0 (2 + 2x)dx ight|$ $ + left| int_0^ln 3 left( 3 – e^x ight)dx ight|.$$ = 3ln 3 – 1.$Chọn câu trả lời C.

Ví dụ 5: diện tích s hình phẳng giới hạn bởi những đường $y = sqrt x $, $y = 2 – x$, $y = 0$ bằng:A. $frac43.$B. $frac76.$C. $frac16 + frac4sqrt 2 3.$D. $frac133.$

Lời giải:Tìm những hoành độ giao điểm:$sqrt x = 2 – x$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lx le 2\x = (2 – x)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow x = 1.$$sqrt x = 0 Leftrightarrow x = 0.$$2 – x = 0 Leftrightarrow x = 2.$Diện tích:$S = int_0^1 | sqrt x – (2 – x)|dx$ $ + int_1^2 | 2 – x|dx$ $ = left| int_0^1 (sqrt x – 2 + x) dx ight|$ $ + left| int_1^2 (2 – x)dx ight|.$$ = left| _0^1 ight|$ $ + left| _1^2 ight|$ $ = frac43.$Chọn câu trả lời A.

Xem thêm: Tổng Hợp Những Câu Nói Hay Về Sự Tuyệt Vọng Nổi Tiếng Nhất Khi Cuộc Sống Bế Tắc

Ví dụ 6: diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P):y = x^2 – x – 2$ và những tiếp con đường của $(P)$ tại những giao điểm của $(P)$ cùng với trục hoành bằng:A. $frac634.$B. $frac638.$C. $frac1178.$D. $frac94.$

Lời giải:Viết những tiếp tuyến:$y = x^2 – x – 2$ $ Rightarrow y’ = 2x – 1.$Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ cùng với $Ox:$$x^2 – x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = – 1\x = 2 Rightarrow y"(2) = 3endarray ight..$Tại $M( – 1;0)$, $y"( – 1) = – 3$, phương trình tiếp tuyến đường là: $y=-3x-3.$Tại $N(2;0)$, $y"(2) = 3$, phương trình tiếp con đường là: $y = 3x – 6.$Tìm các hoành độ giao điểm:$x^2 – x – 2 = – 3x – 3$ $ Leftrightarrow x = – 1.$$x^2 – x – 2 = 3x – 6$ $ Leftrightarrow x = 2.$$ – 3x – 3 = 3x – 6$ $ Leftrightarrow x = frac12.$Diện tích:$S = int_ – 1^frac12 left $ $ + int_frac12^2 left .$$ = int_ – 1^frac12 (x + 1)^2 dx$ $ + int_frac12^2 (x – 2)^2 dx$ $ = left. frac(x + 1)^33 ight|_ – 1^frac12$ $ + left. frac(x – 2)^33 ight|_frac12^2$ $ = frac94.$Chọn đáp án D.

Ví dụ 7: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 3x – x^2$ cùng $y = left{ eginarray*20l – fracx2& mkhi::x le 2\x – 3& mkhi::x > 2endarray ight.$ có diện tích là:A. $S = frac23.$B. $S = frac83.$C. $S = 4.$D. $S = 6.$

Lời giải:Tìm các hoành độ giao điểm:

*

$3x – x^2 = – fracx2$ $(x le 2)$ $ Leftrightarrow x = 0.$$3x – x^2 = x – 3$ $(x > 2)$ $ Leftrightarrow x = 3.$$ – fracx2 = x – 3 Leftrightarrow x = 2.$Diện tích:$S = int_0^2 left( 3x – x^2 + fracx2 ight)dx $ $ + int_2^3 left( 3x – x^2 – x + 3 ight)dx = 6.$Chọn câu trả lời D.

Ví dụ 8: gọi $S$ là diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường $y = sqrt 3x $, $y = 6 – x$ và trục $Ox.$ khẳng định nào sau đó là đúng?A. $S = int_0^6 (sqrt 3x – 6 + x)dx .$B. $S = int_0^6 sqrt 3x dx + int_0^6 (6 – x)dx .$C. $S = int_0^3 sqrt 3x dx + int_3^6 (6 – x)dx .$D. $S = int_0^6 (6 – x – sqrt 3x )dx .$

Lời giải:Tìm các hoành độ giao điểm:$sqrt 3x = 6 – x$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20l6 – x ge 0\3x = (6 – x)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow x = 3.$$sqrt 3x = 0$ $ Leftrightarrow x = 0.$$6 – x = 0 Leftrightarrow x = 6.$Diện tích:$S = int_0^3 | sqrt 3x – 0|dx$ $ + int_3^6 | 6 – x – 0|dx$ $ = int_0^3 sqrt 3x dx + int_3^6 (6 – x)dx .$Chọn giải đáp C.

III. LUYỆN TẬP1. ĐỀ BÀICâu 1: diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi đường nhánh cong $y = x^2$ $(x ge 0)$, con đường thẳng $y = 3 – 2x$ cùng trục hoành bằng:A. $frac512.$B. $frac2312.$C. $frac78.$D. $frac712.$

Câu 2: diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi các đường $y = sqrt 2x $, $y = 4 – x$ với trục $Ox$ bằng:A. $frac173.$B. $frac163.$C. $frac143.$D. $frac133.$

Câu 3: diện tích s hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^3$, $y = 2 – x$ cùng $y = 0$ bằng:A. $frac34.$B. $frac114.$C. $frac72.$D. $frac52.$

Câu 4: hotline $S$ là diện tích s hình phẳng giới hạn bởi thiết bị thị những hàm số $y = x^2$, $y = fracx^227$, $y = frac27x.$ xác minh nào sau đó là đúng?A. $S = int_0^3 x^2 – fracx^227 ight $ $ + int_3^9 dx .$B. $S = int_0^3 left $ $ + int_3^9 frac27x – fracx^227 ight .$C. $S = int_0^3 left $ $ + int_3^9 frac27x – x^2 ight .$D. $S = int_0^3 left $ $ + int_3^9 x^2 – fracx^227 ight .$

Câu 5: Cho diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi hai đường nhánh cong $y = x^2$ $(x ge 0)$, $y = 4x^2$ $(x ge 0)$ và mặt đường thẳng $y=4$ bằng?A. $frac83.$B. $frac143.$C. $7.$D. $frac173.$

2. BẢNG ĐÁP ÁN

Câu12345
Đáp ánDCAAA

3. HƯỚNG DẪN GIẢICâu 1: Phương trình hoành độ giao điểm:$x^2 = 3 – 2x$ $(x ge 0)$ $ Leftrightarrow x = 1.$$x^2 = 0 Leftrightarrow x = 0.$$3 – 2x = 0 Leftrightarrow x = frac32.$Diện tích:$S = int_0^1 x^2 – 0 ight $ $ + int_1^frac32 | 3 – 2x – 0|dx$ $ = frac712.$Chọn câu trả lời D.

Câu 2: Phương trình hoành độ giao điểm:$sqrt 2x = 4 – x$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lx le 4\2x = (4 – x)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow x = 2.$$sqrt x = 0 Leftrightarrow x = 0.$$4 – x = 0 Leftrightarrow x = 4.$Diện tích:$S = int_0^2 | sqrt 2x – 0|dx$ $ + int_2^4 | 4 – x – 0|dx$ $ = frac143.$Chọn đáp án C.

Câu 3: Phương trình hoành độ giao điểm:$x^3 = 0 Leftrightarrow x = 0.$$2 – x = 0 Leftrightarrow x = 2.$$x^3 = 2 – x Leftrightarrow x = 1.$Diện tích:$S = int_0^1 dx $ $ + int_1^2 | 2 – x|dx = frac34.$Chọn đáp án A.

Câu 4: Phương trình hoành độ giao điểm:$x^2 = fracx^227 Leftrightarrow x = 0.$$fracx^227 = frac27x Leftrightarrow x = 9.$$frac27x = x^2 Leftrightarrow x = 3.$Diện tích: $S = int_0^3 x^2 – fracx^227 ight $ $ + int_3^9 frac27x – fracx^227 ight .$Chọn đáp án A.

Xem thêm: Giáo Án Tự Chọn Toán 9 Mới Nhất 2019, Giáo Án Cả Năm Tự Chọn Toán Lớp 9

Câu 5: Phương trình hoành độ giao điểm:$x^2 = 4$ $(x ge 0)$ $ Leftrightarrow x = 2.$$4x^2 = 4$ $(x ge 0)$ $ Leftrightarrow x = 1.$$x^2 = 4x^2 Leftrightarrow x = 0.$Diện tích: $S = int_0^1 dx $ $ + int_1^2 4 – x^2 ight = frac83.$Chọn lời giải A.