TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

     
Toán 10: Tích vô vị trí hướng của hai vectơ1. Tích vô vị trí hướng của hai vectơ là gì?2. Những dạng toán tích vô vị trí hướng của hai vectơ
Toán 10: Tích vô vị trí hướng của hai vectơ

1. Tích vô hướng của hai vectơ là gì?

1.1. Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

Cho nhì véc-tơ $ veca$ với $vecb$ hầu hết khác $ vec0$. Tích vô hướng của hai véc-tơ $ veca$ cùng $vecb$, kí hiệu là $ vecacdot vecb$ là một số, được xác minh bởi $$ vecacdot vecb = left|veca ight |cdot left|vecb ight|cdot cos (veca,vecb) .$$

Quy ước, trường hợp $ veca=vec0$ hoặc $ vecb=vec0$ thì $ vecacdot vecb =0.$

Xem lại cách khẳng định góc thân hai véc-tơ: Góc giữa hai vectơ trong khía cạnh phẳng.

Bạn đang xem: Tích vô hướng của hai vectơ


Hai véc-tơ vuông góc với nhau khi và chỉ còn khi tích vô vị trí hướng của chúng bằng $0$.

Tích vô hướng chính là công trong đồ lý. Cho 1 lực có độ phệ $F$ ảnh hưởng tác động lên vật làm cho vật di chuyển được quãng đường $s=OO’$. Lực $F$ phù hợp với hướng vận động $OO’$ một góc là $phi$ thì công nhưng mà lực $F$ sinh ra có độ khủng là $$A=F.s.cosphi.$$


*

1.2. Tính chất của tích vô hướng

Với cha véc-tơ $ veca,vecb,vecc$ bất kỳ và một số thực $ k$, ta luôn có


$ vecacdot vecb=vecbcdotveca$ (tính hóa học giao hoán);$ veca(vecb+vecc)=vecacdotvecb+vecacdotvecc$ (tính hóa học phân phối);$ (kveca)cdotvecb=k(vecacdotvecb)$.

1.3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trong phương diện phẳng tọa độ $Oxy$ với hệ trục $ (O;veci,vecj)$ cho hai véc-tơ $ veca=(x;y)$ cùng $ vecb=(x’;y’)$ thì ta bao gồm $$ vecacdotvecb=xx’+yy’. $$


Hai véc-tơ $ veca=(x;y)$ và $ vecb=(x’;y’)$ khi và chỉ còn khi $xx’+yy’=0$.

1.4. Ứng dụng của tích vô hướng 2 vecto

Độ nhiều năm của $ veca(x;y)$ được xem bởi phương pháp $$ |veca|=sqrtx^2+y^2.$$Góc giữa hai vectơ $ veca=(x;y)$ cùng $ vecb=(x’;y’)$ bao gồm $$ cosleft(veca,vecb ight)=fracvecacdotvecb=fracxx’+yy’sqrtx^2+y^2cdotsqrtx’^2+y’^2.$$Khoảng giải pháp giữa hai điểm $ A(x_A;y_A)$ cùng $ B(x_B;y_B)$ được xem bởi cách làm $$ AB=sqrtleft(x_B-x_A ight)^2+left(y_B-y_A ight)^2.$$

1.5. Phương pháp hình chiếu

Nếu nhị điểm $ A’,B’ $ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của $ A,B $ xuất hành thẳng $ CD, $ thì ta luôn có < overrightarrowABcdotoverrightarrowCD=overrightarrowA’B’cdotoverrightarrowCD >Ngược lại, ví như hai điểm $ C’,D’ $ theo lần lượt là hình chiếu vuông góc của $ C,D $ căn nguyên thẳng $ AB $ thì< overrightarrowABcdotoverrightarrowCD=overrightarrowABcdotoverrightarrowC’D’ >

2. Những dạng toán tích vô hướng của hai vectơ

2.1. Tính tích vô hướng bằng định nghĩa

Ví dụ 1. mang đến tam giác $ABC$ đều, cạnh bởi $ a $ và đường cao $ AH $. Tính những tích vô hướng:


$ overrightarrowABcdotoverrightarrowAC$;$(2overrightarrowAB)cdot(3overrightarrowHC)$;$ (overrightarrowAB-overrightarrowAC)(2overrightarrowAB+overrightarrowBC). $

Ví dụ 2. mang đến tam giác những $ ABC $ có cạnh bởi $ 3a. $ lấy hai điểm $ M,N $ nằm trong đoạn $ AC $ làm thế nào để cho $ AM=MN=NC $. Tính những tích vô hướng:


$ overrightarrowABcdotoverrightarrowAC$;$overrightarrowACcdotoverrightarrowCB$;$overrightarrowBMcdotoverrightarrowBN $.

Hướng dẫn.


Ta có: $ overrightarrowABcdotoverrightarrowAC=ABcdot ACcoswidehatBAC=3acdot 3acdotcos60^circ=frac9a^22.$Dựng $ overrightarrowCE=overrightarrowAC $ thì $left(overrightarrowAC,overrightarrowCB ight)=left(overrightarrowCE,overrightarrowCB ight)=widehatBCE=120^circ. $ Từ đó tính được, $overrightarrowACcdotoverrightarrowCB=-frac9a^22$.Để tính tích vô hướng còn lại, ta phân tích các véctơ áp dụng quy tắc tía điểm như sau: eginalign*overrightarrowBMcdotoverrightarrowBN&=left(overrightarrowAM-overrightarrowAB ight)left(overrightarrowAN-overrightarrowAB ight)\ &=overrightarrowAMcdotoverrightarrowAN-overrightarrowABcdotoverrightarrowAM-overrightarrowABcdotoverrightarrowAN+overrightarrowAB^2 endalign*Thay số vào các tích vô phía trên, được đáp số $ frac13a^22 $.

Khi tính các tích vô hướng ta thông thường sẽ có hai hướng, tính trực tiếp bằng định nghĩa, hoặc đối chiếu thành các véctơ tất cả mối contact đặc biệt cùng nhau (vuông góc, cùng hướng hoặc ngược phía với nhau). Hãy xem lấy ví dụ như sau để rõ rộng về ý tưởng phát minh này.

Ví dụ 3. Cho hình vuông vắn $ ABCD $ cạnh bởi $ a $ tất cả $ M, N $ theo thứ tự là trung điểm của $ BC $ với $ CD $. Tính những tích vô hướng:


$ overrightarrowABcdotoverrightarrowAM$;$overrightarrowAMcdotoverrightarrowAN. $

Hướng dẫn.


Ta bao gồm $ overrightarrowABcdotoverrightarrowAM=overrightarrowABleft(overrightarrowAB+overrightarrowBM ight)=overrightarrowAB^2+overrightarrowABcdotoverrightarrowBM=a^2. $Tương tự, cũng đều có $ overrightarrowAMcdotoverrightarrowAN=left( overrightarrowAB+overrightarrowBM ight)left(overrightarrowAD+overrightarrowDN ight)=…=a^2. $

Ví dụ 4. Cho hình vuông $ ABCD $ cạnh bằng $ a $ cùng $ M $ là một trong điểm nằm trê tuyến phố tròn nước ngoài tiếp hình vuông. Tính các tích vô hướng:

$ left( overrightarrowAB+overrightarrowAD ight) cdotleft(overrightarrowBD+overrightarrowBC ight) $;$ left( 2overrightarrowAB-overrightarrowAD ight) cdot left( 2overrightarrowAC+overrightarrowAB ight) $;$ overrightarrowMAcdotoverrightarrowMB+overrightarrowMCcdotoverrightarrowMD $.

Ví dụ 5. đến hai điểm $ A,B $ cố định và thắt chặt và $ k $ là hằng số. Tìm kiếm tập hợp những điểm $ M $ thỏa mãn nhu cầu $$ overrightarrowMAcdotoverrightarrowMB=k. $$

Hướng dẫn. call $ I $ là trung điểm $ AB $, ta có: eginalignoverrightarrowMAcdotoverrightarrowMB&= left(overrightarrowMI+overrightarrowIA ight) left(overrightarrowMI+overrightarrowIB ight)\&= left(overrightarrowMI+overrightarrowIA ight) left(overrightarrowMI-overrightarrowIA ight)\&=MI^2-IA^2endalign vày đó, $ MI^2=k+IA^2 $, đề nghị có các khả năng:

Nếu $ k+IA^2 trường hợp $ k+IA^2=0 $, tập phù hợp điểm $ M $ là điểm $ I $.Nếu $ k+IA^2 >0 $, tập hợp điểm $ M $ là 1 đường tròn trung ương $ I, $ nửa đường kính $ R=sqrtk+IA^2 $.

Như vậy, tùy ở trong vào số $ k $ cơ mà tập hòa hợp điểm $ M $ là các tập khác biệt như trên.


Ví dụ 6. đến hai véctơ $ overrightarrowOA,overrightarrowOB $, điện thoại tư vấn $ B’ $ là hình chiếu vuông góc của điểm $ B $ xuất hành thẳng $ OA $. Minh chứng rằng $ overrightarrowOAcdotoverrightarrowOB= overrightarrowOAcdotoverrightarrowOB’$.


Hướng dẫn. Chúng ta xét hai trường hợp:


Hai điểm $A$ với $ B’ $ nằm tại cùng một bên so cùng với điểm $ O. $ khi đó, $ coswidehatAOB=coswidehatBOB’ $ nên:eginalignoverrightarrowOAcdotoverrightarrowOB&=OAcdot OBcdotcoswidehatAOB\&=OAcdot OB’\&=OAcdot OB’cdotcos0^circ\&=overrightarrowOAcdotoverrightarrowOB’endalignHai điểm $A$ cùng $ B’ $ nằm hai phía so với điểm $ O. $ lúc đó, $ coswidehatAOB=-coswidehatBOB’ $ nên:eginalignoverrightarrowOAcdotoverrightarrowOB&=OAcdot OBcdotcoswidehatAOB\&=-OAcdot OBcdotcoswidehatAOB’\&=-OAcdot OB’\&=OAcdot OB’cdotcos180^circ\&=overrightarrowOAcdotoverrightarrowOB’endalign

Như vậy, trong cả nhị trường hợp, ta đều sở hữu $ overrightarrowOAcdotoverrightarrowOB= overrightarrowOAcdotoverrightarrowOB’$.


Ví dụ 7. mang đến đường tròn trọng điểm $ I, $ bán kính $ R $ và một điểm $ M $ bất kỳ. Một đường thẳng qua $ M $ giảm đường tròn tại nhì điểm $ A,B $. Minh chứng rằng giá trị của biểu thức $ P=overrightarrowMAcdotoverrightarrowMB $ không đổi.


Hướng dẫn. Kẻ 2 lần bán kính $ BB’ $ thì ta tất cả $ A $ là hình chiếu của $ B’ $ lên $ MB $. Áp dụng cách làm hình chiếu trong lấy ví dụ trên, ta có: eginalignP&=overrightarrowMAcdotoverrightarrowMB\&=overrightarrowMBcdotoverrightarrowMB’\&=left(overrightarrowMI+overrightarrowIB ight)left(overrightarrowMI+overrightarrowIB’ ight)endalign tuy thế $ overrightarrowIB=-overrightarrowIB’$, buộc phải suy ra $$P= left(overrightarrowMI+overrightarrowIB ight)left(overrightarrowMI-overrightarrowIB ight)=MI^2-IB^2=MI^2-R^2 $$, đấy là một đại lượng không đổi.


Ví dụ 8. mang đến tam giác $ABC$ vuông trên $ A $ và $ overrightarrowABcdotoverrightarrowCB=4, overrightarrowACcdotoverrightarrowBC=9 $. Tính độ dài bố cạnh của tam giác.


Hướng dẫn. Ta bao gồm $ A $ là hình chiếu vuông góc của $ C $ phát xuất thẳng $ AB $, bởi đó: < 4=overrightarrowABcdotoverrightarrowCB=overrightarrowABcdotoverrightarrowAB=AB^2 > Suy ra $ AB=2. $ tương tự có $ AC=3, $ và thực hiện Pytago được $ BC=sqrt13. $


Ví dụ 9. mang lại hình thang vuông $ ABCD $, con đường cao $ AB = 2a $, đáy to $ BC = 3a $, đáy nhỏ dại $ AD = a $.


Tính các tích vô phía $ overrightarrowABcdotoverrightarrowCD,overrightarrowBDcdotoverrightarrowBC,overrightarrowACcdotoverrightarrowBD $.Gọi $ I $ là trung điểm của $ CD, $ tính góc $ left(overrightarrowAI,overrightarrowBD ight) $.

Hướng dẫn. thực hiện công thức hình chiếu hoặc so sánh theo nhì véctơ vuông góc cùng nhau là $ overrightarrowAB,overrightarrowAD. $

Ví dụ 10. Cho hình vuông vắn $ ABCD $ cạnh bởi $ a $ với điểm $ M $ ở trong cạnh $ AB $ thế nào cho $ AM=fraca3. $ Tính quý hiếm lượng giác $ coswidehatCMD $.

2.2. Minh chứng đẳng thức bởi tích vô hướng

Ví dụ 1. mang đến tam giác $ABC$ có giữa trung tâm $ G $ cùng $ M $ là 1 trong điểm nằm trên đường thẳng trải qua $ G $ đồng thời vuông góc cùng với $ BC. $ chứng minh rằng $$left(overrightarrowMA+overrightarrowMB+overrightarrowMC ight)cdotoverrightarrowBC=0. $$ Hướng dẫn. Ta có $ left(overrightarrowMA+overrightarrowMB+overrightarrowMC ight)cdotoverrightarrowBC=3overrightarrowMGcdotoverrightarrowBC=0. $

Ví dụ 2. Cho hình vuông vắn $ ABCD $ vai trung phong là $ O $, cạnh bằng $ a $. Chứng tỏ rằng với đa số điểm $ M $ ta luôn luôn có:< MA^2+MB^2+MC^2+MD^2=4MO^2+2a^2 > Hướng dẫn. Ta có: $$ MA^2=overrightarrowMA^2=left(overrightarrowMO+overrightarrowOA ight)^2=MO^2+OA^2+2overrightarrowMOcdotoverrightarrowOA. $$ làm cho tương tự so với $ MB,MC,MD $ và cộng từng vế các đẳng thức này được: eginalignMA^2+MB^2+MC^2+MD^2&=4MO^2+4OA^2+2overrightarrowMOleft(overrightarrowOA+overrightarrowOB+overrightarrowOD+overrightarrowOD ight)\&=4MO^2+2a^2endalign vì $ overrightarrowOA+overrightarrowOB+overrightarrowOD+overrightarrowOD=vec0. $

2.3. Minh chứng hai con đường thẳng vuông góc

Ví dụ 1. chứng minh rằng với tư điểm minh bạch $ A,B,C,D $ bất kì, ta luôn có, $ AB $ vuông góc với $ CD $ khi còn chỉ khi< AC^2-AD^2=BC^2-BD^2 >Hướng dẫn. Áp dụng phương pháp $ veca^2=|veca|^2 $, ta có:eginalign*AC^2-AD^2&=BC^2-BD^2\Leftrightarrow overrightarrowAC^2-overrightarrowAD^2&=overrightarrowBC^2-overrightarrowBD^2\Leftrightarrow left(overrightarrowAC-overrightarrowAD ight)left(overrightarrowAC+overrightarrowAD ight)&=left(overrightarrowBC-overrightarrowBD ight)left(overrightarrowBC+overrightarrowBD ight)\Leftrightarrow overrightarrowDCleft(overrightarrowAC+overrightarrowAD ight)&=overrightarrowDCleft(overrightarrowBC+overrightarrowBD ight)\Leftrightarrow overrightarrowDCleft(overrightarrowAC+overrightarrowAD-overrightarrowBC-overrightarrowBD ight)&=0\Leftrightarrow 2overrightarrowDCcdotoverrightarrowAB&=0endalign* Điều này xảy ra, khi và chỉ khi hai tuyến phố thẳng $ AB $ với $ CD $ vuông góc với nhau.

Chú ý rằng, ở cách thứ ba, ta ko được “chia” nhì vế mang lại $ overrightarrowDC $.

2.4. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Ví dụ 1. Cho tam giác $ ABC$ với $ A(-1 ;-1 ) , B(3 ;1) , C(6 ; 0)$. Tính chu vi tam giác $ABC$ với tìm số đo góc $ B$.

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ mang lại hai điểm $ A(-3,2),B(4,3). $ tìm tọa độ điểm $M$ nằm trong trục $ Ox $ làm sao để cho tam giác $ MAB $ vuông trên $ M. $

Hướng dẫn. $ M(3,0) $ hoặc $ M(-2,0) $

Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ mang đến tam giác $ABC$ có $A(1;2),B(5;3)$ với $C(-2;-2)$.

Tính chu vi tam giác $ABC$;Tính số đo những góc của tam giác $ABC$;Tìm tọa độ trọng tâm, trực tâm, trung tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Ví dụ 4. cho tam giác $ ABC $ vuông cân nặng tại điểm $A$. Biết $ M(1,-1) $ là trung điểm cạnh $ BC $ và $ G(2/3,0) $ là trung tâm tam giác $ ABC $. Search tọa độ những đỉnh của tam giác.

Hướng dẫn.

Gọi $ A(x_A,y_A) $ thì $ overrightarrowAG=2overrightarrowGM Leftrightarrow A(0,2).$Gọi $ B(x_B,y_B) $ thì bởi vì $ M $ là trung điểm $ BC $ đề nghị $ C(2-x_B,-2-y_B) $ cho nên vì vậy tính được $$ overrightarrowAB,overrightarrowAC. $$Mặt khác, tất cả tam giác $ ABC $ vuông cân nặng tại $A$ khi còn chỉ khi $$egincases overrightarrowAB.overrightarrowAC=0 \ AB=AC endcases$$ Giải hệ này tìm được $B(4,0)$ hoặc $ B(-2,2) .$ từ đó kiếm được $ C(-2,2) $ hoặc $ C(4,0). $

Ví dụ 5. Trong khía cạnh phẳng toạ độ $ Oxy, $ cho tam giác $ ABC $ có các đỉnh $ A(-1, 0), B (4, 0), C(0,m) $ cùng với $ m e 0 $. Tìm kiếm tọa độ giữa trung tâm $ G $ của tam giác $ ABC $ theo $ m $. Khẳng định $ m $ nhằm tam giác $ GAB $ vuông tại $ G. $

Hướng dẫn. Đáp số $ m=pm3sqrt6 $.

Ví dụ 6. Cho $ A(0,2),B(-sqrt3,-1). $ tìm kiếm tọa độ trực trọng điểm và trung khu đường tròn nước ngoài tiếp tam giác $ OAB. $

Hướng dẫn.

Có $ H $ là trực trọng tâm tam giác $OAB$ khi và chỉ khi $$egincases overrightarrowAB.overrightarrowOH=0\ overrightarrowAH.overrightarrowOB=0 endcases $$ Giải hệ này kiếm được đáp số $H(sqrt3,-1).$Ta tất cả $ I $ là tâm đường tròn nước ngoài tiếp tam giác $ OAB $ khi và chỉ khi $$IA=IB=IO$$ Giải hệ này tìm kiếm được đáp số $I(-sqrt3,1)$.

Ví dụ 7. cho tứ giác $ABCD$ có $A( 2 ; 1) , B(0 ; -3 ), C(6 ; -6 ), D(8 ; -2 )$. Tính diện tích s tứ giác $ABCD$.

Hướng dẫn. Chỉ ta tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật nên diện tích được tính bằng công thức $$S=frac12 ABcdot AD.$$

3. Bài bác tập tích vô hướng của hai vectơ

Bài 1. Cho hình vuông ABCD cạnh $a$. Tính $overrightarrowABcdot overrightarrowAD$ với $overrightarrowABcdot overrightarrowAC$.

Bài 2. cho tam giác $ABC$ có $widehatA=90^circ;widehatB=60^circ$ cùng $AB=a$. Tính những tích vô hướng $overrightarrowABcdot overrightarrowAC;overrightarrowCAcdot overrightarrowCB$ và $overrightarrowACcdot overrightarrowCB$.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại A tất cả $AB=AC=a$. Tính $overrightarrowABcdot overrightarrowAC;;overrightarrowBAcdot overrightarrowBC$ và $overrightarrowABcdot overrightarrowBC$.

Bài 4. đến tam giác $ABC$ phần đa cạnh $a$. Tính $overrightarrowABcdot overrightarrowAC$ cùng $overrightarrowBCcdot overrightarrowAB$.

Bài 5. Trong phương diện phẳng $ Oxy $ mang lại $A=(4;6),B(1;4)$ cùng $C(7;frac32)$.

Chứng minh tam giác $ABC$ vuông trên $ A $.Tính độ dài các cạnh $AB,AC,BC$.

Xem thêm: Bài Luận Tiếng Anh Về Tình Bạn Bè Hay Nhất, Viết Đoạn Văn Về Tình Bạn Bằng Tiếng Anh Có Dịch

Bài 6. Tính góc thân hai vec tơ $overrightarrowa$ và $overrightarrowb$ trong những trường vừa lòng sau

$overrightarrowa=(1;-2)$ và $overrightarrowb=(-1;-3)$.$overrightarrowa=(3;-4)$ với $overrightarrowb=(4;3)$.$overrightarrowa=(2;5)$ và $overrightarrowb=(3;-7)$.

Bài 7. Cho hình vuông $ ABCD $. Call $ M,N $ theo lần lượt là trung điểm của $ BC,CD $. Minh chứng rằng $ AM $ vuông góc cùng với $ BN. $

Bài 8. cho hình thang vuông $ ABCD $ với con đường cao $ AD=h $ với hai lòng $ AB=a,CD=b $.

Tìm đk của $ a,b $ với $ h $ nhằm $ AC $ vuông góc cùng với $ BD $.Gọi $ M $ là trung điểm của $ BC $. Tìm đk của $ a $ cùng $ b $ để $ AM $ vuông góc với $ BD. $

Bài 9. minh chứng rằng với tư điểm $ A,B,C,D $ ngẫu nhiên ta có< overrightarrowABcdot overrightarrowCD+overrightarrowACcdotoverrightarrowDB+overrightarrowADcdotoverrightarrowBC=vec0 >Suy ra tía đường cao của tam giác đồng quy.

Bài 10. cho tam giác $ABC$, trên những cạnh $ AB,CD $, ta dựng ra phía ngoài những tam giác $ ABE,ACF $ vuông cân tại $ A $. Hotline $ I $ là trung điểm của $ BC $. Chứng minh rằng $ AI $ vuông góc cùng với $ EF $.

Bài 11. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp con đường tròn trọng tâm $ O $. Gọi $ BH,CK $ là các đường cao của tam giác. Minh chứng rằng $ OA $ vuông góc cùng với $ HK $.

Bài 12. cho tam giác $ABC$ cân tại $ A $ cùng với $ O $ là chổ chính giữa đường tròn nước ngoài tiếp. Hotline $ D $ là trung điểm của $ AB $ với $ E $ là trọng tâm của tam giác $ ACD $. Minh chứng rằng $ OE $ vuông góc cùng với $ CD $.

Bài 13. đến tam giác $ABC$ nội tiếp mặt đường tròn trung khu $ O $ cùng một điểm $ H $. Chứng tỏ rằng $ H $ là trực vai trung phong của tam giác $ ABC $ khi còn chỉ khi $ overrightarrowOA+overrightarrowOB+overrightarrowOC=overrightarrowOH $.

Bài 14. mang đến tứ giác lồi $ ABCD $ cùng với $ O $ là giao điểm của hai tuyến phố chéo. Call $ H,K $ tương ứng là trực tâm của các tam giác $ OAB,OCD $. Call $ I,J $ tương ứng là trung điểm của $ BC,DA $. Chứng tỏ rằng $ HK $ vuông góc cùng với $ IJ $.

Bài 15. đến tứ giác nội tiếp $ ABCD $ với $ I $ là giao điểm của hai tuyến đường chéo. Hotline $ E,F $ thứu tự là trung điểm của $ AB,BC $. Minh chứng rằng $ IE $ vuông góc với $ CD $ khi còn chỉ khi $ IF $ vuông góc cùng với $ AD $.

Bài 16. cho góc vuông $ xSy $ và đường tròn $ (O) $ giảm $ Sx $ tại $ A,B $ với $ Sy $ tại $ C,D $. Chứng minh rằng trung đường vẽ trường đoản cú $ S $ của tam giác $ SAC $ vuông góc với $ BD $.

Bài 17. Trong mặt phẳng $ Oxy $ đến hai điểm $A(2;4)$ với $B(1;1)$. Kiếm tìm tọa độ điểm $ C $ làm thế nào cho tam giác $ABC$ là tam giác vuông cân tại $ B $.

Bài 18. đến tam giác $ABC$ biết $A(1;-1),B(5;-3)$ và $C(2;0)$.

Tính chu vi với nhận dạng tam giác $ABC$.Tìm tọa độ điểm M biết $overrightarrowCM=2overrightarrowAB-3overrightarrowAC$.Tìm chổ chính giữa và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Bài 19. Trong phương diện phẳng $Oxy$ mang lại 4 điểm $A,B,C,D$ với $A(-1;1) ,B(0;2) ,C(3;1)$ với $D(0;-2)$. Chứng tỏ rằng $ABCD$ là hình thang cân

Bài 20. Trong khía cạnh phẳng $Oxy$ mang đến 4 điểm $A(3;4) ,B(4;1) ,C(2;- 3) ,D(-1;6)$. Minh chứng rằng $ABCD$ là tứ giác nội tiếp.

Bài 21. Cho hình vuông $ ABCD $. Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ BC,CD $. Chứng tỏ rằng $ AM $ vuông góc với $ BN. $

Bài 22. Cho hình thang vuông $ ABCD $ với đường cao $ AD=h $ cùng hai đáy $ AB=a,CD=b $.

Tìm đk của $ a,b $ với $ h $ nhằm $ AC $ vuông góc với $ BD $.Gọi $ M $ là trung điểm của $ BC $. Tìm điều kiện của $ a $ cùng $ b $ để $ AM $ vuông góc cùng với $ BD. $

Bài 23. mang lại tam giác $ABC$. Cùng với điểm $ M $ tùy ý, minh chứng rằng$$overrightarrowMAcdot overrightarrowBC+overrightarrowMBcdot overrightarrowCA+overrightarrowMCcdot overrightarrowAB=0$$

Bài 24. mang lại $ O $ là trung điểm của đoạn thẳng $ AB $ cùng $ M $ là một điểm tùy ý. Minh chứng rằng $overrightarrowMAcdot overrightarrowMB=OM^2 – OA^2$.

Bài 25. mang lại tam giác $ABC$ có ba đường trung tuyến là $ AD, BE, CF $. Chứng minh rằng $overrightarrowBCcdot overrightarrowAD+overrightarrowCAcdot overrightarrowBE+overrightarrowABcdot overrightarrowCF=0$.

Bài 26. đến hình chữ nhật $ ABCD $ gồm $AB=a$ và $AD=asqrt2$. Gọi $ K $ là trung điểm của cạnh $ AD $. Chứng tỏ $BKperp AC$.

Bài 27. mang đến tam giác $ABC$ cân tại $ A $. điện thoại tư vấn $ H $ là trung điểm của cạnh $ BC $, $ D $ là hình chiếu vuông góc của $ H $ trên cạnh $ AC, M $ là trung điểm của đoạn $ HD $. Chứng tỏ $AMperp BD$.

Bài 28. mang đến tam giác $ABC$. Hotline $ H $ là trực trung tâm của tam giác và $ M $ là trung điểm của $ BC $. Chứng tỏ $overrightarrowMHcdot overrightarrowMA=frac14BC^2$.

Bài 29. đến tứ giác $ ABCD $ có hai đường chéo cánh $ AC $ và $ BD $ vuông góc với nhau và giảm nhau trên $ M $. Call $ p. $ là trung điểm của $ AD $. Triệu chứng minh$$MPperp BC Leftrightarrow overrightarrowMAcdot overrightarrowMC=overrightarrowMBcdot overrightarrowMD$$

Bài 30. chứng tỏ rằng với tứ điểm $ A,B,C,D $ ngẫu nhiên ta có< overrightarrowABcdot overrightarrowCD+overrightarrowACcdotoverrightarrowDB+overrightarrowADcdotoverrightarrowBC=vec0. > từ đó chứng minh ba mặt đường cao của một tam giác đồng quy.

Bài 31. cho tam giác $ABC$, trên các cạnh $ AB,CD $, ta dựng ra phía ngoài các tam giác $ ABE,ACF $ vuông cân tại $ A $. Hotline $ I $ là trung điểm của $ BC $. Minh chứng rằng $ AI $ vuông góc cùng với $ EF $.

Bài 32. mang đến tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn trung khu $ O $. Hotline $ BH,CK $ là các đường cao của tam giác. Minh chứng rằng $ OA $ vuông góc cùng với $ HK $.

Bài 33. cho tam giác $ABC$ cân nặng tại $ A $ cùng với $ O $ là vai trung phong đường tròn ngoại tiếp. Gọi $ D $ là trung điểm của $ AB $ với $ E $ là giữa trung tâm của tam giác $ ACD $. Minh chứng rằng $ OE $ vuông góc cùng với $ CD $.

Bài 34. cho tam giác $ABC$ nội tiếp mặt đường tròn trung tâm $ O $ với một điểm $ H $. Chứng minh rằng $ H $ là trực trung khu của tam giác $ ABC $ khi còn chỉ khi $ overrightarrowOA+overrightarrowOB+overrightarrowOC=overrightarrowOH $.

Bài 35. đến tứ giác lồi $ ABCD $ cùng với $ O $ là giao điểm của hai tuyến đường chéo. Call $ H,K $ tương xứng là trực tâm của các tam giác $ OAB,OCD $. Call $ I,J $ khớp ứng là trung điểm của $ BC,DA $. Minh chứng rằng $ HK $ vuông góc cùng với $ IJ $.

Bài 36. mang đến tứ giác nội tiếp $ ABCD $ cùng với $ I $ là giao điểm của hai đường chéo. Hotline $ E,F $ lần lượt là trung điểm của $ AB,BC $. Minh chứng rằng $ IE $ vuông góc với $ CD $ khi còn chỉ khi $ IF $ vuông góc cùng với $ AD $.

Bài 37. mang lại góc vuông $ xSy $ và mặt đường tròn $ (O) $ cắt $ Sx $ tại $ A,B $ và $ Sy $ trên $ C,D $. Chứng tỏ rằng trung đường vẽ từ bỏ $ S $ của tam giác $ SAC $ vuông góc với $ BD $.

Bài 38. cho tam giác không cân nặng $ ABC $. Hỏi tam giác này phải thỏa mãn nhu cầu điều kiện gì để con đường thẳng Euler của nó vuông góc cùng với trung con đường qua $ A $?

Bài 39. Qua trung điểm các cạnh của một tứ giác lồi kẻ các đường thẳng vuông góc cùng với cạnh đối diện. Chứng minh rằng trường hợp ba trong các các mặt đường đó đồng quy thì cả bốn đường trực tiếp đồng quy.

Bài 40.

Xem thêm: Giải Thích Các Hiện Tượng Vật Lý Trong Đời Sống, Giải Thích Các Hiện Tượng Vật Lí

Trong phương diện phẳng mang đến $ n $ điểm rõ ràng $ A_1,A_2,…,A_n $, với $ n $ số thực khác không $ lambda_1,lambda_2,…,lambda_n $ làm thế nào để cho $ A_iA_j^2=lambda_i+lambda_j $. Chứng minh rằng $ n leqslant 4 $ và nếu $ n=4 $ thì $ frac1lambda_1+frac1lambda_2+frac1lambda_3+frac1lambda_4=0 $.