Giải bài tập toán 12 trang 101

     

Giải bài xích tập trang 100, 101 bài bác 1 nguyên hàm SGK Giải tích 12. Câu 1: trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là 1 trong nguyên hàm của hàm số còn lại...

Bạn đang xem: Giải bài tập toán 12 trang 101


Bài 1 trang 100-SGK Giải tích 12

Trong các hàm số bên dưới đây, hàm số nào là 1 trong nguyên hàm của hàm số còn lại?

a) (e^-x) và (- e^-x); b) (sin2x) cùng (sin^2x) 

c) ((1-frac2x)^2e^x)  và ((1-frac4x)e^x)

Giải

a) (e^-x) và (- e^-x) là nguyên hàm của nhau, vì:

((e^ - x)"= e^ - xleft( - 1 ight)= - e^ - x) và (( - e^ - x)" = left( - 1 ight)( - e^ - x) = e^ - x)

b) (sin^2x) là nguyên hàm của (sin2x), vì:

(left( sin^2x ight)" m = m 2sinx.left( sinx ight)" = 2sinxcosx = sin2x)

c) ((1-frac4x)e^x) là một nguyên hàm của ((1-frac2x)^2e^x) vì:

(((1-frac4x)e^x)") = (frac4x^2e^x+(1-frac4x)e^x)  = (left (1-frac4x+frac4x^2 ight )e^x) = ((1-frac2x)^2e^x)

Bài 2 trang 100-101-SGK Giải tích 12

Tìm nguyên hàm của những hàm số sau?

a) (f(x) = fracx+sqrtx+1^sqrt<3>x) ; b) ( f(x)=frac2^x-1e^x)

c) (f(x) = frac1sin^2x.cos^2x); d) (f(x) = sin5x.cos3x)

e) (f(x) = tan^2x) g) (f(x) = e^3-2x)

h) (f(x) =frac1(1+x)(1-2x)) ;

Giải 

a) Điều khiếu nại (x>0). Tiến hành chia tử cho mẫu ta được:

(f(x) = fracx+x^frac12+1x^frac13) = (x^1-frac13+ x^frac12-frac13+ x^-frac13) = (x^frac23+ x^frac16 + x^-frac13)

(∫f(x)dx = ∫(x^frac23+ x^frac16 + x^-frac13)dx) = (frac35x^frac53+ frac67x^frac76+frac32x^frac23) +C

b) Ta gồm (f(x) = frac2^x-1e^x) = ((frac2e)^x)(-e^-x)

 ; cho nên vì vậy nguyên hàm của (f(x)) là:

(F(x)= frac(frac2e)^xlnfrac2e + e^-x+C) =(frac2^xe^x(ln2 -1)+frac1e^x+C)= (frac2^x+ln2-1e^x(ln2-1) + C)

c) Ta gồm (f(x) = frac1sin^2x.cos^2x=frac4sin^22x)

hoặc (f(x) =frac1cos^2x.sin^2x=frac1cos^2x+frac1sin^2x)

Do kia nguyên hàm của (f(x)) là (F(x)= -2cot2x + C)

d) Áp dụng phương pháp biến tích thành tổng:

 (f(x) =sin5xcos3x = frac12(sin8x +sin2x)).

Vậy nguyên hàm của hàm số (f(x)) là

(F(x)) = (-frac14)((frac14cos8x + cos2x) +C)

e) Ta tất cả (tan^2x = frac1cos^2x-1)

vậy nguyên hàm của hàm số f(x) là (F(x) = tanx - x + C)

g) Ta tất cả (int e^3 - 2x dx = - 1 over 2int e^3 - 2x d(3 - 2x) = - 1 over 2e^3 - 2x + C)

h) Ta bao gồm :(int fracdx(1+x)(1-2x))=frac13int (frac11+x+frac21-2x)dx)

= (frac13(lnleft | 1+x ight |)-lnleft | 1-2x ight |)+C) 

= (frac13lnleft | frac1+x1-2x ight | +C).

Xem thêm: Hình Ảnh Mì Xào Hải Sản Ngon Miễn Chê, Cách Làm Món Mì Xào Hải Sản Của Nguyễn Hạnh Nhân

Bài 3 Trang 101- SGK Giải tích 12

Sử dụng cách thức biến số, hãy tính:

a) (∫(1-x)^9dx) (đặt (u =1-x) ) ;

b) (∫x(1 + x^2)^3 over 2dx) (đặt (u = 1 + x^2) )

c) (∫cos^3xsinxdx) (đặt (t = cosx))

d) (int fracdxe^x+e^-x+2) (đặt (u= e^x+1))

Giải

a) phương pháp 1: Đặt (u = 1 - x Rightarrow du= -dx). Lúc đó ta được (-int u^9du = -frac110u^10+C)

Suy ra (int(1-x)^9dx=-frac(1-x)^1010+C)

Cách 2: (smallint left( 1 - x ight)^9dx = - smallint left( 1 - x ight)^9dleft( 1 - x ight)=) (-frac(1-x)^1010 +C)

b) phương pháp 1 : giống như cách 1 phần a.

Xem thêm: Tân Hoàn Châu Cách Cách Phần 1 Và Phần 2 Năm 1997, Phim Tân Hoàn Châu Cách Thuyết Minh

Cách 2: (int x(1+x^2)^frac32dx) = (frac12int (1+x^2)^frac32d(1+x^2))

= (frac12.frac25(1+x^2)^frac52+C) = (frac15.(1+x^2)^frac52+C)

c)(∫cos^3xsinxdx = -∫cos^3xd(cosx))

(= -frac14.cos^4x + C)

d) (int fracdxe^x+e^-x+2) = (int frace^xe^2x+2e^x+1dx)= (int fracd(e^x+1)(e^x+1)^2dx)

=(frac-1e^x+1 + C).

Bài 4 trang 101- SGK Toán Giải tích 12

Sử dụng phương thức tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

a) (∫xln(1+x)dx); b) (int (x^2 + 2x + 1)e^xdx)

c) (∫xsin(2x+1)dx); d) (int (1-x)cosxdx)

Giải

a) Áp dụng phương pháp tìm nguyên hàm từng phần:

Đặt (u= ln(1+x))

(dv= xdx)

(Rightarrow du=frac11+xdx) , (v=fracx^2-12)

Ta có: (∫xln(1+x)dx = frac12.(x^2-1)ln(1+x))(-frac12int (x-1)dx))

(=frac12.(x^2-1)ln(1+x)-frac14x^2+fracx2+C)

b) search nguyên hàm t4ừng phần hai lần:

Đặt (u = (x^2 + 2x - 1)) và (dv=e^xdx)

Suy ra (du = (2x+2)dx), (v=e^x)

. Khi đó:

(int (x^2 + 2x m - m 1)e^xdx ) = ((x^2 + 2x m - m 1)e^x) - (int (2x + 2)e^xdx )

Đặt : (u=2x+2); (dv=e^xdx)

 (Rightarrow du = 2dx ;v=e^x)

Khi đó: (int (2x + 2)e^xdx )(= (2x + 2)e^x)(- 2int e^xdx )(= m e^xleft( 2x + 2 ight) m - m 2e^x + C)

Vậy: (int (x^2 + 2x m - m 1)e^xdx =e^x(x^2 - 1) m + m C)

c) Đặt (u=x); (dv = sin(2x+1)dx)

(eqalign và int xsin left( 2x + 1 ight) = - 1 over 2xcos left( 2x + 1 ight) + 1 over 2int cos left( 2x + 1 ight)dx cr & ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = - 1 over 2xcos left( 2x + 1 ight) + 1 over 4sin left( 2x + 1 ight) + C cr )

d) Đặt (u = 1 - x) ;(dv = cosxdx)

(eqalign & int left( 1 - x ight)cos xdx = left( 1 - x ight)sin x + int sin xdx cr và ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = left( 1 - x ight)sin x - cos x + C cr )