Cách Tính Giới Hạn Của Hàm Số

     

Với phương pháp giải những dạng toán về giới hạn của hàm số môn Toán lớp 11 Đại số và Giải tích gồm phương pháp giải đưa ra tiết, bài bác tập minh họa có lời giải và bài bác tập từ luyện sẽ giúp đỡ học sinh biết cách làm bài xích tập các dạng toán về giới hạn của hàm số lớp 11. Mời chúng ta đón xem:


Giới hạn của hàm số và giải pháp giải bài tập - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

a) số lượng giới hạn của hàm số tại một điểm:

* số lượng giới hạn hữu hạn: Cho khoảng tầm K đựng điểm x0 . Ta nói rằng hàm số f(x) xác minh trên K (có thể trừ điểm x0) có giới hạn là L khi x dần dần tới x0 giả dụ với dãy số (xn) bất kì, xn∈Kx0và xn→x0, ta có: f(xn)→L

Kí hiệu:limx→x0f(x)=L tốt f(x)→Lkhi x→x0.

Bạn đang xem: Cách tính giới hạn của hàm số

Nhận xét: nếu f(x) là hàm số sơ cấp xác minh tại x0 thì limx→x0fx=fx0.

* số lượng giới hạn ra vô cực:

Hàm số y = f(x) có giới hạn dần tới dương vô cực khi x dần tới x0 nếu với tất cả dãy số (xn):xn→x0thì f(xn)→+∞.

Kí hiệu: .

Hàm số y = f(x) có giới hạn dần tới âm vô rất khi x dần dần tới x0 nếu với đa số dãy số (xn):xn→x0thì f(xn)→−∞.

Kí hiệu: limx→x0f(x)=−∞.

b) số lượng giới hạn của hàm số tại vô cực

* số lượng giới hạn ra hữu hạn:

- Ta nói hàm số y = f(x) xác định trên (a;+∞)có giới hạn là L lúc x→+∞nếu với mọi dãy số (xn):xn>avà xn→+∞thì f(xn)→L.

Kí hiệu: limx→+∞f(x)=L.

- Ta nói hàm số y = f(x) xác minh trên (−∞;b)có giới hạn là L lúc x→−∞nếu với tất cả dãy số (xn):xnbvà xn→−∞thì f(xn)→L.

Kí hiệu: limx→−∞f(x)=L.

* giới hạn ra vô cực:

- Ta nói hàm số y = f(x) khẳng định trên (a;+∞)có số lượng giới hạn dần cho tới dương hết sức (hoặc âm vô cùng) lúc x→+∞nếu với tất cả dãy số (xn):xn>avà xn→+∞thì f(xn)→+∞(hoặc f(xn)→−∞).

Kí hiệu: limx→+∞f(x)=+∞(hoặc limx→+∞f(x)=-∞).

- Ta nói hàm số y = f(x) xác minh trên (−∞;b)có số lượng giới hạn là dần dần tới dương khôn cùng (hoặc âm vô cùng) khi x→−∞nếu với đa số dãy số (xn):xnbvà xn→−∞thì f(xn)→+∞. (hoặc f(xn)→−∞).

Kí hiệu: limx→-∞f(x)=+∞(hoặc limx→-∞f(x)=−∞).

c) Các giới hạn đặc biệt:

*

d) Một vài ba định lý về số lượng giới hạn hữu hạn

*

Chú ý:

- những định lý về số lượng giới hạn hữu hạn của hàm số vẫn đúng khi thay x→x0bởi x→+∞ hoặc x→-∞.

- Định lí bên trên ta chỉ vận dụng cho phần đông hàm số có giới hạn là hữu hạn. Ta ko áp dụng cho những giới hạn dần dần về vô cực.

* Nguyên lí kẹp

Cho cha hàm số f(x), g(x), h(x) xác định trên K cất điểm x0 (có thể những hàm kia không xác minh tại x0). Nếu như g(x)≤f(x)≤h(x)  ∀x∈Klimx→x0g(x)=limx→x0h(x)=Lthì .

e) quy tắc về giới hạn vô cực

Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x)g(x)

*

Quy tắc tìm số lượng giới hạn của thươngf(x)g(x)

f) giới hạn một bên

* số lượng giới hạn hữu hạn

- Định nghĩa 1: trả sử hàm số f xác minh trên khoảng chừng x0;b,x0∈ℝ. Ta bảo rằng hàm số f có giới hạn bên phải là số thực L khi dần cho x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với tất cả dãy số bất kể (xn) phần nhiều số thuộc khoảng (x0; b) mà lại lim xn = x0 ta đều phải sở hữu lim f(xn) = L.

Khi kia ta viết: limx→x0+fx=Lhoặc fx→Lkhi x→x0+.

- Định nghĩa 2: giả sử hàm số f xác minh trên khoảng chừng a;x0,x0∈ℝ. Ta nói rằng hàm số có số lượng giới hạn bên trái là số thực L khi x dần mang đến x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với mọi dãy bất cứ (xn) phần đông số thuộc khoảng tầm (a; x0) mà lại lim xn = x0 ta đều phải sở hữu lim f(xn) = L.

Khi kia ta viết: limx→x0−fx=Lhoặc fx→Lkhi x→x0−.

- nhận xét:

limx→x0fx=L⇔limx→x0−fx=limx→x0+fx=L

Các định lí về số lượng giới hạn của hàm số vẫn đúng vào lúc thay x→x0bởi x→x0− hoặc x→x0+.

* số lượng giới hạn vô cực

- các định nghĩa limx→x0−fx=+∞, limx→x0−fx=−∞, limx→x0+fx=+∞và limx→x0+fx=−∞được vạc biểu tương tự như như quan niệm 1 và định nghĩa 2.

- dấn xét: những định lí về số lượng giới hạn của hàm số vẫn đúng nếu nuốm L vì chưng +∞ hoặc-∞

2. Những dạng bài tập

Dạng 1: giới hạn tại một điểm

Phương pháp giải:

- nếu như f(x) là hàm số sơ cấp xác minh tại x0 thìlimx→x0fx=fx0

- Áp dụng nguyên tắc về số lượng giới hạn tới vô cực:

*

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

*

Lời giải

Ví dụ 2: Tính những giới hạn sau:

*

Lời giải

Dạng 2: số lượng giới hạn tại vô cực

Phương pháp giải:

- Rút lũy thừa có số mũ bự nhất

- Áp dụng quy tắc số lượng giới hạn tới vô cực

*

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a)limx→+∞(7x5+5x2−x+7)

b)limx→−∞4x5−3x3+x+1

Lời giải

*

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

a)limx→+∞x6+5x−1

b)limx→−∞2x2+1+x

Lời giải

*

Dạng 3: Sử dụng nguyên tắc kẹp

Nguyên lí kẹp

Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) xác minh trên K cất điểm x0 (có thể những hàm kia không xác định tại x0). Trường hợp g(x)≤f(x)≤h(x)  ∀x∈Klimx→x0g(x)=limx→x0h(x)=Lthì limx→x0f(x)=L.

Phương pháp giải:

Xét tính bị ngăn của hàm số f(x) vày hai hàm số g(x) và h(x) sao cholimx→x0g(x)=limx→x0h(x)=L

Chú ý tính bị ngăn của hàm số lượng giác:

−1≤sinx≤1−1≤cosx≤1

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính số lượng giới hạn của hàm số:

a)limx→0x2cos2nx

b)limx→−∞cos5x2x

Lời giải

*

Ví dụ 2: Tính số lượng giới hạn của hàm số:limx→+∞2sinx+cos3xx+1−x

Lời giải

*

Dạng 4: giới hạn dạng vô định00

Nhận biết dạng vô định 00: Tính limx→x0f(x)g(x)trong kia f(x0) = g(x0) = 0.

Phương pháp giải:

Để khử dạng vô định này ta so với f(x) với g(x) làm thế nào cho xuất hiện tại nhân tử thông thường là (x – x0)

Định lí: Nếu đa thức f(x) tất cả nghiệm x = x0 thì ta có: f(x) = (x – x0)f1(x).

* giả dụ f(x) với g(x) là các đa thức thì ta so với f(x) = (x – x0)f1(x) với g(x) = (x – x0)g1(x).

Khi kia limx→x0f(x)g(x)=limx→x0f1(x)g1(x), nếu như giới hạn này có dạng 00thì ta liên tiếp quá trình như trên.

Chú ý: nếu như tam thức bậc nhị ax2 + bx + c tất cả hai nghiệm x1; x2 thì ta luôn luôn có sự phân tích: ax2 + bx + c = a(x – x1) (x – x2)

* nếu như f(x) cùng g(x) là các hàm chứa căn thức thì ta nhân lượng phối hợp để chuyển về những đa thức, rồi phân tích các đa thức như trên.

Các lượng liên hợp:

*

* trường hợp f(x) với g(x) là những hàm chứa căn thức không cùng cấp ta sử dụng phương pháp tách, chẳng hạn:

Nếu u(x)n,v(x)m→c thì ta phân tích:

u(x)n−v(x)m=(u(x)n−c)−(v(x)m−c)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

a)limx→1x3−3x2+2x2−4x+3

b)limx→22x2−5x+2x3−8

Lời giải

a)limx→1x3−3x2+2x2−4x+3

=limx→1(x−1)(x2−2x−2)(x−1)(x−3)=limx→1x2−2x−2x−3=32

b)limx→22x2−5x+2x3−8

=limx→2(2x−1)(x−2)(x−2)(x2+2x+4)=limx→22x−1x2+2x+4=14

Ví dụ 2: Tính những giới hạn sau:

*

Lời giải

*

*

Dạng 5: giới hạn dạng vô định∞∞

Nhận biết dạng vô định∞∞

limx→x0uxvxkhi limx→x0ux=±∞,limx→x0vx=±∞

limx→±∞uxvx khilimx→x0ux=±∞,limx→x0vx=±∞

Phương pháp giải:

- phân chia tử và mẫu cho xn cùng với n là số mũ tối đa của trở thành ở mẫu (Hoặc phân tích các thành tích chứa nhân tử xn rồi giản ước).

- Nếu u(x) hoặc v(x) gồm chứa vươn lên là x trong dấu căn thì gửi xk ra bên ngoài dấu căn (Với k là mũ cao nhất của biến chuyển x trong vết căn), sau đó chia tử với mẫu đến lũy thừa cao nhất của x.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

*

Lời giải

*

*

Ví dụ 2: Tính những giới hạn sau:

*

Lời giải

*

*

*

Dạng 6: giới hạn dạng vô định ∞−∞ và0.∞

Phương pháp giải:

- giả dụ biểu thức chứa phát triển thành số dưới dấu căn thì nhân và phân tách với biểu thức liên hợp

- nếu như biểu thức đựng được nhiều phân thức thì quy đồng mẫu và đem đến cùng một biểu thức

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

*

Lời giải

*

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

a)limx→01x−1x2

b)limx→01x1x+1−1

Lời giải

*

Dạng 7: Tính số lượng giới hạn một bên

Phương pháp giải:

Sử dụng nguyên tắc tính số lượng giới hạn tới vô cực

*

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

*

Lời giải

*

Ví dụ 2: mang đến hàm số fx=x2+11−x khi x12x−2 khi x≥1. Tính:

a)limx→1+fx

b) limx→1−fx

Lời giải

a)limx→1+fx=limx→1+2x−2=2.1−2=0

b) limx→1−fx=limx→1−x2+11−x=+∞ vìlimx→1−x2+1=2>0limx→1−1−x=0x→1−⇒x1⇒1−x>0

Dạng 8: kiếm tìm tham số m để hàm số gồm giới hạn ở một điểm mang đến trước

Phương pháp giải:

Sử dụng thừa nhận xét:limx→x0fx=L⇔limx→x0−fx=limx→x0+fx=L

- Tính giới hạnlimx→x0−fx;  limx→x0+fx

- Để hàm số có số lượng giới hạn tại x = x0 đến trước thì limx→x0−fx= limx→x0+fx. Tìm kiếm m.

Khi kia với m vừa tìm kiếm được, hàm số có số lượng giới hạn tại x = x0 đến trước và số lượng giới hạn đó bằngL=limx→x0−fx= limx→x0+fx

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: mang lại hàm số fx=x2−3x+2x−2      x>2a                       x≤2. Với giá trị nào của a thì hàm số đã mang đến có giới hạn tại điểm x = 2?

Lời giải

Ta có

limx→2+fx=limx→2+x2−3x+2x−2=limx→2+x−1x−2x−2=limx→2+x−1=1

limx→2−fx=a.

Để hàm số có số lượng giới hạn tại x = 2 thì limx→2+fx= limx→2−fx.

⇒a=1

Vậy a = 1.

Ví dụ 2: Tìm các giá trị thực của tham số fx=m−3khi x12m−13khi x=11−7x2+2khi x>1để hàm số để tồn tại limx→1fx.

Lời giải

Ta cólimx→1−fx=limx→1−m−3=m−3limx→1+fx=limx→1+1−7x2+2=−2

Để hàm số có số lượng giới hạn tại x = 1 thì limx→1−fx=limx→1+fx.

⇒m−3=−2⇔m=1

Vậy m = 1.

3. Bài tập trường đoản cú luyện

Câu 1. Tính limx→1−−3x−1x−1bằng:

A. -1

B. -∞

C.+∞

D. -3

Câu 2. Tính limx→+∞2x2−13−x2bằng:

A.

Xem thêm: Top 9 Lòng Không Dối Gian Thì Đâu Phải Là Em, Bởi Vì Đam Mê

-2

B.13

C.23

D. 2

Câu 3. Tính limx→2x3−8x2−4bằng:

A. 3

B. 1

C. 4

D. 2

Câu 4. Tính limx→−4x2+3x−4x2+4xbằng:

A. -1

B. 54

C. 1

D.-54

Câu 5. Tính limx→1x3−1x−1bằng:

A. 13

B. 1

C. 12

D. 2

Câu 6. Tính limx→0x3+1−1x2+xbằng:

A. 4

B. 3

C. 0

D. 1

Câu 7. Tính limx→−∞4x2−x+1x+1bằng

A. -2

B. 1

C. 2

D. -1

Câu 8. Tính limx→+∞x+5−x−7bằng

A.-∞

B.+∞

C. 0

D. 4

Câu 9. Tính limx→−∞−2x5+x4−33x2−7là:

A. 0

B. +∞

C. -2

D.-∞

Câu 10. Tínhlimx→+∞x2−4x−x

A. -2

B. -∞

C. 0

D.+∞

Câu 11. Cho limx→−∞x2+ax+5+x=5. Quý giá của a là:

A. 6

B. 10

C. -10

D. -6

Câu 12. Kết quả đúng của limx→1x3−1x4−1bằng:

A. 34

B. 4

C. 43

D. 3

Câu 13. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề làm sao đúng?

A. limx→−∞x4−x1−2x=0

B. limx→−∞x4−x1−2x=+∞

C. limx→−∞x4−x1−2x=1

D. limx→−∞x4−x1−2x=−∞

Câu 14. Cho fx=4−x2      −2≤x≤2x2−4x−2                         x>2. Tính limx→−2+fx.

A. 0

B. 4

C.+∞

D.

Xem thêm: Đại Số Lớp 9 Ôn Tập Chương Iv Ngắn Gọn Và Chi Tiết Nhất, Giải Vnen Toán 9 Bài 11: Ôn Tập Chương Iv

không tồn tại

Câu 15. Tìm những giá trị thực của tham số m nhằm hàm số fx=x+m khi  x0x2+1khi  x≥0 có số lượng giới hạn tại x = 0.