Bài tập về dãy số

     

Các dạng bài tập dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân

Với những dạng bài tập dãy số, cấp cho số cộng, cung cấp số nhân Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương thức giải, lấy một ví dụ minh họa và bài bác tập trắc nghiệm có lời giải cụ thể sẽ giúp học sinh ôn tập, biết phương pháp làm dạng bài xích tập dãy số, cấp cho số cộng, cấp cho số nhân từ đó đạt điểm trên cao trong bài xích thi môn Toán lớp 11.

Bạn đang xem: Bài tập về dãy số

*

Phương pháp quy nạp toán học

Dãy số

Cấp số cộng

Cấp số nhân

Cách xác định số hạng của dãy số

A. Phương thức giải và Ví dụ

1. dãy số là tập hợp những giá trị của hàm số u: ¥* → i; n → u(n)

Được sắp xếp theo thiết bị tự tăng dần thường xuyên theo đối số thoải mái và tự nhiên n:

u(1); u(2); u(3); ....u(n);....

♦Ta kí hiệu u(n) bởi vì un và hotline là số hạng sản phẩm n tuyệt số hạng tổng thể của dãy số, u1 được call là số hạng đầu của dãy số.

♦Ta rất có thể viết hàng số dưới dạng triển khai u1,u2,u3…..un,.... Hoặc dạng rút gọn gàng (un).

2. tín đồ ta thường đến dãy số theo những cách:

♦Cho số hạng tổng quát, tức là: cho hàm số u khẳng định dãy số kia

* đến hệ thức bộc lộ số hạng tổng quát qua số hạng (hoặc một vài số hạng) đứng trước nó.

Ví dụ minh họa

Bài 1: mang lại dãy số tất cả 4 số hạng đầu là: -1, 3, 19, 53. Hãy tra cứu một quy vẻ ngoài của dãy số trên với viết số hạng vật dụng 10 của hàng với quy lý lẽ vừa tìm.

Đáp án và lí giải giải

Xét dãy (un) tất cả dạng: un=an3+bn2+cn+d

*

Giải hệ trên ta tìm được: a = 1 ; b = 0 ; c = -3 ; d = 1

⇒ un=n3-3n+1 là 1 trong những quy nguyên tắc .

Số hạng thứ 10: u10=971.

Bài 2: đến dãy số (un) được xác định bởi

*

1. Viết năm số hạng đầu của dãy;

2. dãy số có bao nhiêu số hạng nhận quý giá nguyên.

Đáp án và hướng dẫn giải

Ta gồm năm số hạng đầu của hàng

*

Ta có:

*

do kia un nguyên khi và chỉ còn khi

*
nguyên hay n+1 là ước của 5. Điều đó xảy ra khi n+1=5 ⇒ n = 4

Vậy dãy số gồm duy nhất một vài hạng nguyên là u4=7.

Bài 3: mang lại dãy số (un) xác minh bởi:

*

1. Viết năm số hạng đầu của dãy;

2. minh chứng rằng un=u4;

Đáp án và chỉ dẫn giải

1. Ta gồm 5 số hạng đầu của dãy là:

u1=1;u2=2u1+3=5;u3=2u2+3=13;u4=29; u5=61.

2.

Xem thêm: Soạn Bài Thực Hành Về Hàm Ý (Tiếp Theo) Hay, Ngắn Gọn, Soạn Bài Thực Hành Về Hàm Ý

Ta chứng minh bài toán bằng cách thức quy nạp

* với n = 1 ⇒ u4=1 ⇒ câu hỏi đúng cùng với n = 1

* mang sử uk=2k+1-3 , ta minh chứng u_(k+1)=2k+2-3

Thật vậy, theo cách làm truy hồi ta có:

uk+1=2uk+3=2(2k+1-3)=2k+2-3 (đpcm).

Cách tìm công thức của số hạng tổng quát

A. Phương pháp giải

•Nếu un tất cả dạng un = a1 + a2 + ... + ak + .. + an thì biến hóa ak thành hiệu của hai số hạng, phụ thuộc vào đó thu gọn gàng un .

•Nếu dãy số (un) được cho vị một hệ thức truy nã hồi, tính vài ba số hạng đầu của dãy số (chẳng hạn tính u1; u2; ... ). Trường đoản cú đó dự đoán công thức tính un theo n, rồi chứng tỏ công thức này bằng cách thức quy nạp. Ngoài ra cũng có thể tính hiệu:

un + 1 − un nhờ vào đó nhằm tìm công thức tính un theo n.

B. Ví dụ như minh họa

Ví dụ 1: mang đến dãy số có các số hạng đầu là: 4; 8; 12; 16; 20; 24;... Số hạng bao quát của hàng số này là:

A. Un = 4nB. Un = 2n+ 2C. Un = 2n+ 5 D. Un = 4n+ 2

Hướng dẫn giải:

Ta có:

4 = 4.1 8 = 4.2 12 = 4.3

16 = 4.4 đôi mươi = 4.5 24 = 4.6

Suy ra số hạng bao quát un = 4n.

Chọn A .

Ví dụ 2: Cho hàng số có các số hạng đầu là: .Số hạng tổng thể của hàng số này là:

A. Un = 7n + 7.B. Un = 7n .

C. Un = 7n + 1. D. Un : ko viết được bên dưới dạng công thức.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

8 = 7 . 1 + 1 15 = 7 . 2 + 1 22 = 7 . 3 + 1

29 = 7 . 4 + 1 36 = 7 . 5 + 1

Suy ra số hạng bao quát un = 7n + 1.

Chọn C.

Ví dụ 3: Cho hàng số có các số hạng đầu là:

*
.Số hạng tổng quát của dãy số này là:

*

Hướng dẫn giải:

Ta có:

*

Suy ra số hạng tổng thể của hàng số là:

*

Chọn B.

Cách chứng tỏ một hàng số là cấp số cộng

A. Phương thức giải

* Để minh chứng dãy số (un) là một trong cấp số cộng, ta xét A = un+1 − un

Nếu A là hằng số thì (un) là 1 cấp số cộng với công không đúng d = A.

Nếu A nhờ vào vào n thì (un) không là cấp cho số cộng.

* kế bên ra; để minh chứng dãy số (un) ko là cung cấp số cộng ta rất có thể chỉ ra: vĩnh cửu số nguyên dương k sao cho: uk+1 − uk ≠ uk − uk−1

B. Lấy ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chứng minh hàng số (un) với un = 17n + 2 là cấp cho số cùng

Hướng dẫn giải:

Ta có: un+1 = 17(n + 1) + 2 = 17n + 19

=> Hiệu: un+1 – un = (17n + 19) − (17n + 2) = 17

Suy ra: (un) là cấp số cộng với công không đúng d = 17.

Ví dụ 2: Chứng minh dãy số (un) với un = 10 − 5n là cung cấp số cộng.

Hướng dẫn giải:

Ta có: un+1 = 10 − 5(n+1)= 5 − 5n.

Xét hiệu: un+1 − un = (5 − 5n) − (10 − 5n) = −5

=> (un) là 1 cấp số cùng với công không đúng d = −5.

Ví dụ 3: Cho hàng số (un) cùng với un = 2n + 3. Minh chứng rằng dãy số (un) không hẳn là cung cấp số cùng .

Xem thêm: X Là Hỗn Hợp 2 Este Của Cùng 1 Ancol

Hướng dẫn giải:

Ta có: un+1 = 2n+1 + 3

Xét hiệu: un+1 − un = (2n+1 + 3) − (2n + 1)= 2n+1 − 2n

=> (un+1 − un) không phải là hằng số; còn phụ thuộc vào vào n. Nên dãy số (un) ko là cấp số cộng.