Bài Tập Tìm Thiết Diện Có Lời Giải Lớp 11

     

Tìm tiết diện của hình chóp cắt vày mặt phẳng cất đường thẳng song song với con đường thẳng khác

Với tra cứu thiết diện của hình chóp cắt do mặt phẳng cất đường thẳng song song với đường thẳng khác Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương thức giải, ví dụ minh họa và bài xích tập trắc nghiệm bao gồm lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập thiết diện của hình chóp cắt vày mặt phẳng cất đường thẳng song song với đường thẳng khác từ kia đạt điểm trên cao trong bài bác thi môn Toán lớp 11.

Bạn đang xem: Bài tập tìm thiết diện có lời giải lớp 11

*

A. Cách thức giải

Xác định lần lượt những giao tuyến của (P) với những mặt của hình chóp theo công việc sau:

- từ bỏ điểm chung tất cả sẵn , xác minh giao tuyến trước tiên của (P) với một phương diện của hình chóp (Có thể là mặt trung gian)

- cho giao con đường này cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp ta đang được những điểm chung mới của (P) với những mặt không giống . Tự đó xác minh được các giao tuyến new với những mặt này

- liên tục như thế cho tới khi những giao con đường khép bí mật ta được thiết diện .

Sử dụng định lí: hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng tuy vậy song thì giao tuyến của chúng tuy nhiên song cùng với 2 mặt đường thẳng đó:

*

B. Lấy ví dụ minh họa

Ví dụ 1: mang lại tứ diện ABCD. điện thoại tư vấn M với N thứu tự là trung điểm của AB và AC; điện thoại tư vấn E là vấn đề thuộc CD sao để cho ED = 3EC. Thiết diện tạo bởi vì mặt phẳng (MNE) và tứ diện ABCD là:

A. Tam giác MNE

B. Tứ giác MNEF với F là trung điểm BD

C. Hình bình hành MNEF cùng với F là điểm trên cạnh BD mà EF // BC

D. Hình thang MNEF cùng với F là điểm trên cạnh BD cơ mà EF // BC

Lời giải

*

+ Tam giác ABC bao gồm M; N lần lượt là trung điểm của AB; AC

Suy ra MN là con đường trung bình của tam giác ABC đề nghị MN // BC.

+ Ta kiếm tìm giao tuyến của mp (MNE) cùng mp(BCD) :

*

Gọi giao điểm của tia Ex với BD là F

Do đó: MN // EF suy ra tư điểm M; N; E; F đồng phẳng cùng MNEF là hình thang

Vậy hình thang MNEF là thiết diện phải tìm

Chọn D

Ví dụ 2: đến hình chóp tứ giác phần nhiều S. ABCD bao gồm cạnh đáy bằng a. Các điểm M; N; p lần lượt là trung điểm của SA; SB; SC. Phương diện phẳng (MNP) cắt hình chóp theo một tiết diện có diện tích s bằng:

*

Lời giải

*

+ vì chưng N; p lần lượt là trung điểm của SB; SC

⇒ NP là mặt đường trung bình của tam giác SBC cần NP // BC // AD

+ Ta kiếm tìm giao tuyến của (MNP) cùng (SAD) có:

*

+ vào mp ( SAD) ; gọi Mx cắt SD tại Q

⇒ tiết diện của hình chóp là tứ giác MNPQ.

+ Tam giác SAD bao gồm M; Q theo thứ tự là trung điểm của SA; SD suy ra MQ // AD

+ Tam giác SBC gồm N; p lần lượt là trung điểm của SB; SC suy ra NP // BC

mặt khác AD // BC suy ra MQ // NP và MQ = NP = (1/2)BC = (1/2)AD

⇒ MNPQ là hình bình hành .

+ mà lại AB = AC và AB vuông góc với BC (do đấy là hình chóp tứ giác đều)

⇒ MN = NP cùng MN vuông góc NP

⇒ MNPQ là hình vuông vắn cạnh MN = a/2

+ Diện tích hình vuông MNPQ là S = (a/2)2 = a2/4

Chọn C

Ví dụ 3: mang lại hình chóp S. ABCD bao gồm đáy ABCD là hình bình hành. Call I là trung điểm SA. Tiết diện của hình chóp S. ABCD cắt bởi vì mặt phẳng ( IBC) là:

A. Tam giác IBC

B. Hình thang IBCJ với J là trung điểm SD

C. Hình thang IGBC với G là trung điểm SB

D. Tứ giác IBCD

Lời giải

*

+ Ta tra cứu giao tuyến của mp (IBC) với (SAD)

*

+ Trong khía cạnh phẳng (SAD) có: Ix // AD

Gọi giao điểm của Ix và SD là J

⇒ IJ // BC

⇒ thiết diện của hình chóp S. ABCD cắt vày mặt phẳng (IBC) là hình thang IBCJ.

Chọn B

Ví dụ 4: mang lại tứ diện ABCD. Call M với N theo thứ tự là trung điểm AB với AC. Mặt phẳng (α) qua MN giảm tứ diện ABCD theo thiết diện là một trong những đa giác. Xác định nào sau đây đúng?

A. Thiết diện là hình chữ nhật

B. Thiết diện là tam giác

C. Tiết diện là hình thoi

D. Thiết diện là tam giác hoặc hình thang

Lời giải

*

*

+ ngôi trường hợp: mp (α) ∩ AD = K

⇒ thiết diện là tam giác MNK. Vì thế A với C sai.

+ trường hợp: (α) ∩ (BCD) = IJ cùng với I ∈ BD; J ∈ CD với I; J không trùng D.

⇒ thiết diện là tứ giác MNJI. Rộng nữa; tứ giác MNJI là hình thang

Thật vậy, do MN là con đường trung bình của tam giác ABC nên MN // BC.

*

⇒ Tứ giác MNJI là hình thang

Chọn D

Ví dụ 5: cho hai hình vuông vắn ABCD với CDIS ko thuộc một khía cạnh phẳng với cạnh bởi 4. Biết tam giác SAC cân nặng tại S; SB = 8. Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (ACI) có diện tích bằng:

A. 8 B. 8√2C. 8√3D. 10

Lời giải

*

+ call O là giao điềm của SD với CI; N là giao điểm của AC và BD

⇒ O; N lần lượt là trung điểm của DS và DB (do ABCD với CDSI là hình vuông)

⇒ ON là con đường trung bình của tam giác SBD cùng ON = (1/2)SB = 4

+ thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt do mp (ACI) là tam giác OCA.

Tam giác SAC cân tại S yêu cầu SC = SA

⇒ ΔSDC = ΔSDA (c.c.c)

⇒ co = AO (cùng là con đường trung tuyến của 2 định tương ứng)

⇒ tam giác OCA cân tại O

⇒ ON là con đường trung tuyến cần đồng thời là con đường cao

Khi đó; diện tích tam giác OCA là:

*

Chọn B.

*

Ví dụ 6: mang đến hình chóp S.ABCD tất cả đáy hình vuông cạnh a; mặt mặt SAB là tam giác đều. đến SC = SD = a√3. Call H cùng K theo lần lượt là trung điểm của SA; SB. M là mộtđiềm trên cạnh AD. Tiết diện của hình chóp cắt bởi (HKM) là:

A. Tam giác

B. Tứ giác

C. Hình thanh cân nặng

D. Hình bình hành

Lời giải

+ xét tam giác SAB bao gồm H và K theo lần lượt là trung điểm của SA; SB

⇒ HK là mặt đường trung bình của tam giác SAB với HK // AB

+ khẳng định giao tuyến đường của mp(HKM) với (ABCD) có;

*

+ vào mp ( ABCD) call Mx giảm BC trên N

⇒ thiết diện của hình chóp cắt vì chưng mp(HKM) là hình thang KHMN

+ Xét tam giác SAD cùng SBC có:

*

⇒ Tứ giác KHMN là hình thang cân

Chọn C

Ví dụ 7: mang đến hình chóp S.ABCD gồm đáy ABCD là hình bình hành. Hotline I cùng J thứu tự là giữa trung tâm tam giác SAB cùng SAD. M là trung điểm của CD. Xác minh thiết diện của hình chóp cùng với mp(IJM)

A. Tứ giác B. Ngũ giácC. Hình thangD. Hình thang cân

Lời giải

+ gọi H cùng K thứu tự là trung điểm của AD; AB

+ vì chưng I với J là trọng tâm tam giác SAB với SAD nên: SJ/SH = SI/SK = 2/3

⇒ IJ // HK

+ khẳng định giao tuyến đường của (IJM) và (ABCD):

*

+ trong mp (ABCD); Mx cắt BC tại N

⇒ thiết diện của hình chóp cùng với mp(IJM) là tứ giác IJMN

+ Lại có: IJ // MN

⇒ Tứ giác IJMN là hình thang

Chọn C

Ví dụ 8: cho hình chóp S.ABCD lòng là hình thang, đáy phệ AB. điện thoại tư vấn M là vấn đề trên cạnh SB sao cho SM/SB = 1/4. Hotline H; K thứu tự là trung điểm của AD cùng BC. Kiếm tìm mối liên hệ giữa AB với CD nhằm thiết diện của hình chóp cắt bởi vì (HKM) là hình bình hành?

A. AB = 2CD

B. AB = 3CD

C. AB = 4CD

D. Thiết diện thiết yếu là hình bình hành

Lời giải

+ Xét hình thang ABCD tất cả H với K lần lượt là trung điểm của AD cùng BC.

⇒ HK là đường trung bình của hình thang.

⇒ HK // AB // CD.

+ xác minh giao đường của mp(HKM) và (SAB):

*

+ vào mp(SAB); Mx giảm SA tại N

⇒ tiết diện là tứ giác HKMN.

+ Để tiết diện là hình bình hành lúc : MN = HK.

Xem thêm: Để Rồi Chỉ Còn Mình Anh Lạc Vào Nỗi Đau, Mở Lòng Và Yêu Đi

+ Lại có: HK = (AB + CD)/2 ( đặc thù đường trung bình của hình thang )(1)

+ vày MN // AB nên áp dụng hệ trái định lí Ta-let:

SM/SB = MN/AB = 1/4. ⇔ MN = (AB)/4(2)

Từ ( 1) và (2) suy ra: (AB + CD)/2 = (AB)/4

⇔ 4( AB + CD) = 2AB ⇔ 2AB + 4CD = 0

Vô lí vì AB > 0 với CD > 0

⇒ tiết diện của hình chóp cắt vày (HKM) chẳng thể là hình bình hành.

Chọn D

C. Bài bác tập trắc nghiệm

Câu 1: cho hình chóp S.ABCD tất cả đáy ABCD là hình bình hành trọng tâm O . Hotline M là trung điểm của SA. Thiết diện của mặt phẳng (P) cùng với hình chóp S.ABCD là hình gì? biết (P) là mặt phẳng qua điểm M và tuy nhiên song với SC; AD.

A. Tam giác B. Tam giác cân C. Tứ giác D. Hình thang

Lời giải:

*

+ Qua M kẻ các đường trực tiếp MQ // AD cùng MO // SC

Ta có: SC và AD lần lượt tuy vậy song với mặt phẳng (OMQ) yêu cầu (OMQ) ≡ (P)

+ thuận tiện tìm được: (OMQ) ∩ (ABCD) = NP, cùng với NP // MQ // BC cùng O ∈ NP. Từ kia ta có:

*

vậy tiết diện tạo vì (P) với hình chóp là hình thang MNPQ

Câu 2: mang đến hình chóp S.ABCD. Call M; N là nhị điểm bên trên SB; CD với (P) là khía cạnh phẳng qua MN và tuy vậy song cùng với SC. Tiết diện của hình chóp và mặt phẳng (P) là?

A. Tam giác cânB. Tứ giácC. Hình thang D. Tam giác hoặc tứ giác

Lời giải:

*

Chọn C

+ Ta xác minh mp ( P) với tìm giao đường của mp(P) với các mặt của hình chóp.

- Qua N kẻ NP // SC

Ta có:

*

Từ đó ta có: (MNP) là phương diện phẳng qua MN và tuy nhiên song cùng với SC

Vậy p. ≡ (MNP)

*

⇒ tiết diện tạo vì (P) cùng hình chóp là tứ giác MPNQ

- theo phong cách dựng ta có; MP // NQ (cùng // SC)

⇒ MPNQ là hình thang.

Câu 3: cho hình chóp S.ABCD gồm đáy ABCD là hình bình hành. Khía cạnh phẳng (α) qua BD và song song với SA, khía cạnh phẳng (α) cắt SC tại K. Xác minh nào sau đây là khẳng định đúng ?

A. SK = 2KC

B. SK = KC

C. Tiết diện của hình chóp cắt vày mp(α) là tứ giác

D. Tất cả sai

Lời giải:

*

Chọn B

+ call O là giao điểm của AC và BD. Vì mặt phẳng (α) qua BD nên O ∈ (α)

+ trong tam giác SAC, kẻ OK tuy vậy song SA (K ∈ SC)

*

+ vào tam giác SAC ta bao gồm

*
là mặt đường trung bình của ΔSAC

Vậy SK = KC

+ Mp(α) ≡ mp(KBD) yêu cầu thiết diện của hình chóp cắt do mp(KBD) là tam giác KBD.

*

Câu 4: đến hình chóp S. ABCD tất cả đáy ABCD là hình thang, AD // BC cùng AD = 2 BC, M là trung điểm SA. Khía cạnh phẳng (MBC) cắt hình chóp theo tiết diện là

A. Tam giácB. Hình bình hành. C. Hình thang vuông. D. Hình chữ nhật.

Lời giải:

*

Chọn B

+ Ta có:

*

⇒ Mx // BC // AD; điện thoại tư vấn Mx giảm SD trên N

⇒ thiết diện của hình chóp cắt vì chưng mp( MBC) là tứ giác MNCB

+ Ta có: MN // AD // BC phải MNCB là hình thang

Lại tất cả MN // AD cùng M là trung điểm SA

⇒ MN là mặt đường trung bình của tam giác SAD và MN = (1/2)AD = BC

⇒ tiết diện MNCB là hình bình hành.

Câu 5: đến tứ diện ABCD với M là điểm ở bên trên cạnh AC. Khía cạnh phẳng (α) qua cùng M song song với AB với CD. Tiết diện của tứ diện cắt bởi (α) là

A. Hình bình hànhB. Hình chữ nhậtC. Hình thangD. Hình thoi.

Lời giải:

*

Chọn A

+ bên trên mp(ABC) kẻ MN // AB; N ∈ BC

Trên mp(BCD) kẻ NP // CD; p. ∈ BD

⇒ (α) chính là mặt phẳng (MNP)

*

Gọi giao điểm của Px cùng AD là Q. Vậy MN // PQ // AB(1)

Khi đó, thiết diện của hình chóp cắt vì mp( MNP) là tứ giác MNPQ.

+ Ta có; 3 mp(MNP); mp(ACD) và mp(BCD) đôi một cắt nhau theo 3 giao đường là MQ; NP cùng CD

⇒ MQ // NP // CD (định lí giao đường 3 khía cạnh phẳng)(2)

Từ (1) cùng (2) suy ra tiết diện MNPQ là hình bình hành

Câu 6: đến hình chóp S. ABCD bao gồm đáy ABCD là hình thang với các cạnh lòng là AB và CD. Gọi I; J theo lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC với G là trung tâm của tam giác SAB.

Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện của (IJG) cùng hình chóp là một trong hình bình hành.

Xem thêm: Từ Vựng Unit 12 Lớp 10 Vocabulary, Học Tốt Tiếng Anh Lớp 10

*

Lời giải:

*

+ kiếm tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi vì mp(IJG):

Ta bao gồm ABCD là hình thang và I; J là trung điểm của AD; BC

⇒ IJ là con đường trung bình của hình thang ABCD cùng IJ // AB.

Giao tuyến của mp (IJG) với mp (SAB):

*

+ hay thấy thiết diện là tứ giác MNIJ

Do G là trọng tâm tam giác SAB và MN // AB buộc phải theo hệ trái định lí Ta-let ta có: MN/AB = SG/SE = 2/3 (với E là trung điểm của AB)

⇒ MN = (2/3)AB

+ lại sở hữu IJ là đường trung bình của hình thang ABCD cần IJ = (1/2)(AB + CD)

Vì MN // IJ phải MNIJ là hình thang

Do đó MNIJ là hình bình hành lúc MN = IJ

*

Vậy thết diện là hình bình hành khi AB = 3CD

Chọn D

Câu 7: mang lại tứ diện ABCD những cạnh bởi nhau. điện thoại tư vấn I cùng J theo lần lượt là trung điểm của AC với BC. Call K là 1 điểm bên trên cạnh BD với KB = 2KD. Hỏi thiết diện của tứ diện cùng với mp(IJK) là hình gì?