Bài tập phép tịnh tiến lớp 11

     

Bài viết trình bày định hướng và các dạng toán phép tịnh tiến trong công tác Hình học tập 11 chương 1. Kiến thức và kỹ năng và các ví dụ trong bài viết được tham khảo từ những tài liệu phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng được chia sẻ trên cameraquansat24h.vn.

Bạn đang xem: Bài tập phép tịnh tiến lớp 11

A. KIẾN THỨC CẦN NẮM1. Định nghĩa phép tịnh tiến• Trong khía cạnh phẳng đến vectơ $overrightarrow v $. Phép đổi thay hình thay đổi mỗi điểm $M$ thành điểm $M’$ sao cho $overrightarrow MM’ = overrightarrow v $ được hotline là phép tịnh tiến theo vectơ $overrightarrow v $, ký kết hiệu $T_overrightarrow v .$• $T_overrightarrow v left( M ight) = M’$ $ Leftrightarrow overrightarrow MM’ = overrightarrow v .$2. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến:Trong khía cạnh phẳng tọa độ $Oxy$, mang đến điểm $Mleft( x;y ight)$ và $overrightarrow v = left( a;b ight).$ lúc đó: $M’left( x’;y’ ight) = T_overrightarrow v left( M ight)$ $ Leftrightarrow overrightarrow MM’ = overrightarrow v $ $ Leftrightarrow left{ eginarraylx’ – x = a\y’ – y = bendarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylx’ = x + a\y’ = y + bendarray ight.$3. Các đặc thù của phép tịnh tiến• Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa nhì điểm bất kỳ.• Phép tịnh tiến vươn lên là đường trực tiếp thành con đường thẳng song song hoặc trùng với mặt đường thẳng đã cho.• Phép tịnh tiến biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bởi đoạn thẳng đang cho.• Phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác bởi tam giác sẽ cho.• Phép tịnh tiến thay đổi đường tròn thành mặt đường tròn tất cả cùng chào bán kính.

B. CÁC DẠNG TOÁN PHÉP TỊNH TIẾNDạng toán 1. Xác định hình ảnh của một hình qua phép tịnh tiếnPhương pháp: Sử dụng quan niệm và các đặc thù hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$, dựng hình ảnh của tam giác $ABC$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $overrightarrow BC .$

*

Ta có: $T_overrightarrow BC left( B ight) = C.$Để tìm hình ảnh của điểm $A$, ta dựng hình bình hành $ABCD.$Do $overrightarrow AD = overrightarrow BC $ nên $T_overrightarrow BC left( A ight) = D.$Gọi $E$ là điểm đối xứng với $B$ qua $C$, lúc đó: $overrightarrow CE = overrightarrow BC .$Suy ra $T_overrightarrow BC left( C ight) = E.$Vậy hình ảnh của tam giác $ABC$ là tam giác $DCE$.

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho $overrightarrowv=left( -2;3 ight)$. Hãy tìm hình ảnh của điểm $Aleft( 1;-1 ight)$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $overrightarrowv$.

Gọi $A’left( x’;y’ ight)$ là ảnh của điểm $A$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $overrightarrowv$.Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến $left{ eginarraylx’ = x + a\y’ = y + bendarray ight.$Ta có: $A’left( x’;y’ ight) = T_overrightarrow v left( A ight)$ $ Rightarrow left{ eginarraylx’ = 1 + ( – 2)\y’ = – 1 + 3endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylx’ = – 1\y’ = 2endarray ight.$ $ Rightarrow A’left( – 1;2 ight).$

Ví dụ 3. Trong khía cạnh phẳng tọa độ $Oxy$, cho $overrightarrow v = left( 1; – 3 ight)$ và đường thẳng $d$ có phương trình $2x – 3y + 5 = 0.$ Viết phương trình đường thẳng $d’$ là hình ảnh của $d$ qua phép tịnh tiến $T_overrightarrow v .$

Cách 1.Lấy điểm $Mleft( x;y ight)$ tùy ý thuộc $d$, ta có: $2x – 3y + 5 = 0$ $left( * ight).$Gọi $M’left( x’;y’ ight) = T_overrightarrow v left( M ight)$ $ Rightarrow left{ eginarraylx’ = x + 1\y’ = y – 3endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylx = x’ – 1\y = y’ + 3endarray ight.$Thay vào $(*)$ ta được phương trình $2left( x’ – 1 ight) – 3left( y’ + 3 ight) + 5 = 0$ $ Leftrightarrow 2x’ – 3y’ – 6 = 0.$Vậy hình ảnh của $d$ là mặt đường thẳng $d’:2x – 3y – 6 = 0.$Cách 2.Do $d’ = T_overrightarrow v left( d ight)$ nên $d’$ song tuy nhiên hoặc trùng với $d$, vì vậy phương trình con đường thẳng $d’$ có dạng $2x – 3y + c = 0.$Lấy điểm $Mleft( – 1;1 ight) in d.$ Khi đó $M’ = T_overrightarrow v left( M ight)$ $ = left( – 1 + 1;1 – 3 ight) = left( 0; – 2 ight).$Do $M’ in d’$ $ Rightarrow 2.0 – 3.left( – 2 ight) + c = 0$ $ Leftrightarrow c = – 6.$Vậy ảnh của $d$ là mặt đường thẳng: $d’:2x – 3y – 6 = 0.$Cách 3.Lấy $Mleft( – 1;1 ight)$, $Nleft( 2;3 ight)$ thuộc $d$, ảnh của $M$, $N$ qua phép tịnh tiến $T_overrightarrow v $ khớp ứng là $M’left( 0; – 2 ight)$, $N’left( 3;0 ight).$Vì $d’$ đi qua nhị điểm $M’, N’$ nên $d’$ gồm phương trình $fracx – 03 = fracy + 22$ $ Leftrightarrow 2x – 3y – 6 = 0.$

Ví dụ 4. Trong phương diện phẳng tọa độ $Oxy$, cho mặt đường tròn $left( C ight)$ có phương trình $x^2 + y^2 + 2x – 4y – 4 = 0.$ Tìm hình ảnh của $left( C ight)$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $overrightarrow v = left( 2; – 3 ight).$

Cách 1.Lấy điểm $Mleft( x;y ight)$ tùy ý thuộc con đường tròn $left( C ight)$, ta có: $x^2 + y^2 + 2x – 4y – 4 = 0$ $left( * ight).$Gọi $M’left( x’;y’ ight) = T_overrightarrow v left( M ight)$ $ Rightarrow left{ eginarraylx’ = x + 2\y’ = y – 3endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylx = x’ – 2\y = y’ + 3endarray ight.$Thay vào phương trình $(*)$ ta được: $left( x’ – 2 ight)^2 + left( y’ + 3 ight)^2$ $ + 2left( x’ – 2 ight) – 4left( y’ + 3 ight) – 4 = 0$ $ Leftrightarrow x‘^2 + y‘^2 – 2x’ + 2y’ – 7 = 0.$Vậy hình ảnh của $left( C ight)$ là con đường tròn $left( C’ ight)$: $x^2 + y^2 – 2x + 2y – 7 = 0.$Cách 2.Ta có: $left( C ight)$ có tâm $Ileft( – 1;2 ight)$ và bán kính $r = 3.$Gọi $left( C’ ight) = T_overrightarrow v left( left( C ight) ight)$ và $I’left( x’;y’ ight)$, $r’$ là tâm và nửa đường kính của $(C’).$Ta có: $left{ eginarraylx’ = – 1 + 2 = 1\y’ = 2 – 3 = – 1endarray ight.$ $ Rightarrow I’left( 1; – 1 ight)$ và $r’ = r = 3$ nên phương trình của đường tròn $left( C’ ight)$ là: $left( x – 1 ight)^2 + left( y + 1 ight)^2 = 9.$

Dạng toán 2. Xác định phép tịnh tiến lúc biết ảnh và sản xuất ảnhPhương pháp: Xác định phép tịnh tiến có nghĩa là tìm tọa độ của $overrightarrowv$. Để search tọa độ của $overrightarrowv$ ta hoàn toàn có thể giả sử $overrightarrowv=left( a;b ight)$, sử dụng các dữ khiếu nại trong trả thiết của vấn đề để tùy chỉnh hệ phương trình nhì ẩn $a,b$ với giải hệ tra cứu $a,b$.Ví dụ 5. Trong khía cạnh phẳng tọa độ $Oxy$, mang lại đường trực tiếp $d:3x+y-9=0$. Tìm phép tịnh tiến theo vectơ $overrightarrowv$ gồm giá tuy nhiên song cùng với $Oy$ đổi mới $d$ thành $d’$ trải qua điểm $Aleft( 1;1 ight)$.

Vì $overrightarrow v $ có giá tuy vậy song với $Oy$ nên $overrightarrow v = left( 0;k ight)$ $left( k e 0 ight).$Lấy $Mleft( x;y ight) in d$ $ Rightarrow 3x + y – 9 = 0$ $left( * ight).$Gọi $M’left( x’;y’ ight) = T_overrightarrow v left( M ight)$ $ Rightarrow left{ eginarraylx’ = x\y’ = y + kendarray ight.$Thay vào $left( * ight)$, ta được: $3x’ + y’ – k – 9 = 0.$Do đó: $T_overrightarrow v left( d ight) = d’:$ $3x + y – k – 9 = 0.$Mà: $Aleft( 1;1 ight)$ thuộc $d$, suy ra: $k = – 5.$Vậy $overrightarrow v = left( 0; – 5 ight).$

Ví dụ 6. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai tuyến đường thẳng $d:2x – 3y + 3 = 0$ và $d’:2x – 3y – 5 = 0.$ Tìm tọa độ $overrightarrow v $ có phương vuông góc với $d$ để $T_overrightarrow v left( d ight) = d’.$

Đặt $overrightarrow v = left( a;b ight).$Lấy điểm $Mleft( x;y ight)$ tùy ý thuộc $d$, ta có: $d:2x – 3y + 3 = 0$ $left( * ight).$Gọi $M’left( x’;y’ ight) = T_overrightarrow v left( M ight).$ Ta có $left{ eginarraylx’ = x + a\y’ = y + bendarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylx = x’ – a\y = y’ – bendarray ight.$, thay vào $(*)$ ta được phương trình: $2x’ – 3y’ – 2a + 3b + 3 = 0.$Từ trả thiết suy ra $ – 2a + 3b + 3 = – 5$ $ Leftrightarrow 2a – 3b = – 8.$Vectơ pháp đường của con đường thẳng $d$ là $overrightarrow n = left( 2; – 3 ight)$, suy ra vectơ chỉ phương của $d$ là $overrightarrow u = left( 3;2 ight).$Do $overrightarrow v ot overrightarrow u $ $ Rightarrow overrightarrow v .overrightarrow u = 3a + 2b = 0.$Ta có hệ phương trình $left{ eginarrayl2a – 3b = – 8\3a + 2b = 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarrayla = – frac1613\b = frac2413endarray ight.$Vậy $overrightarrow v = left( – frac1613;frac2413 ight).$

Dạng toán 3. Sử dụng phép tịnh tiến nhằm giải những bài toán dựng hìnhPhương pháp:• Để dựng một điểm $M$ ta tìm phương pháp xem nó là ảnh của một điểm sẽ biết sang 1 phép tịnh tiến, hoặc coi $M$ là giao điểm của hai đường trong những số đó một đường cố định còn một con đường là hình ảnh của một con đường đã biết qua phép tịnh tiến.• thực hiện kết quả: Nếu $T_overrightarrow v left( N ight) = M$ và $N in left( H ight)$ thì $M in left( H’ ight)$, trong đó $left( H’ ight) = T_overrightarrow v left( left( H ight) ight)$ và phối kết hợp với $M$ thuộc hình $left( K ight)$ (theo trả thiết) để suy ra $M in left( H’ ight) cap left( K ight).$

Ví dụ 7. Cho con đường tròn trung ương $O$, bán kính $R$ và hai điểm tách biệt $C,D$ nằm ngoại trừ $left( O ight)$. Hãy dựng dây cung $AB$ của đường tròn $left( O ight)$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành.

*

Phân tích: đưa sử đã dựng được dây cung $AB$ thỏa mãn yêu thương cầu bài bác toán.Do $ABCD$ là hình bình hành nên $overrightarrow AB = overrightarrow DC $ $ Rightarrow T_overrightarrow CD left( A ight) = B.$Nhưng $A in left( O ight)$ $ Rightarrow B in left( O’ ight) = T_overrightarrow DC left( left( O ight) ight).$ Vậy $B$ vừa thuộc $left( O ight)$ và $left( O’ ight)$ nên $B$ chính là giao điểm của $left( O ight)$ và $left( O’ ight).$Cách dựng:+ Dựng con đường tròn $left( O’ ight)$ là ảnh của con đường tròn $left( O ight)$ qua $T_overrightarrow DC .$+ Dựng giao điểm $B$ của $left( O ight)$ và $left( O’ ight).$+ Dựng mặt đường thẳng qua $B$ và tuy nhiên song với $CD$ cắt $left( O ight)$ tại $A.$Dây cung $AB$ là dây cung thỏa yêu cầu bài toán.

Xem thêm: Top 30 Bài Hát Hay Dành Tặng Thầy Cô 20, Những Bài Hát Hay Nhất Về Người Thầy

Chứng minh: Từ giải pháp dựng ta tất cả $T_overrightarrow DC left( A ight) = B$ $ Rightarrow overrightarrow AB = overrightarrow DC $ $ Rightarrow ABCD$ là hình bình hành.Nhận xét:+ nếu như $CD>2R$ thì việc vô nghiệm .+ nếu như $CD=2R$ thì gồm một nghiệm .+ ví như $CDVí dụ 8. Cho tam giác $ABC$. Dựng con đường thẳng $d$ tuy nhiên song với $BC$, giảm hai cạnh $AB, AC$ lần lượt tại $M, N$ làm sao cho $AM=CN$.

*

Phân tích: mang sử đã dựng được đường thẳng $d$ thỏa mãn bài toán. Trường đoản cú $M$ dựng con đường thẳng tuy nhiên song với $AC$ cắt $BC$ trên $P$, lúc đó $MNCP$ là hình bình hành đề xuất $CN=PM$. Ta lại sở hữu $AM=CN$ suy ra $MP=MA$, từ kia ta gồm $AP$ là phân giác trong của góc $A.$Cách dựng:+ Dựng phân giác vào $AP$ của góc $A.$+ Dựng con đường thẳng đi qua $P$ song song cùng với $AC$ cắt $AB$ trên $M.$+ Dựng hình ảnh $N=T_overrightarrowPMleft( C ight)$.Đường thẳng $MN$ chính là đường trực tiếp thỏa yêu cầu bài bác toán.Chứng minh: Từ giải pháp dựng ta có $MNCP$ là hình bình hành, suy ra $MNparallel BC$ và $CN = PM$, ta có $widehat MAP m = widehat CAP = widehat APM$ $ Rightarrow Delta MAP$ cân tại $M$ $ Rightarrow AM = MP.$ Vậy $AM = CN.$Nhận xét: việc có một nghiệm hình.

Dạng toán 4. áp dụng phép tịnh tiến nhằm giải các bài toán tìm kiếm tập hòa hợp điểmPhương pháp: Nếu $T_overrightarrowvleft( M ight)=M’$ và đểm $M$ di động cầm tay trên hình $left( H ight)$ thì điểm $M’$ ở trong hình $left( H’ ight)$, trong các số đó $left( H’ ight)$ là ảnh của hình $left( H ight)$ qua $T_overrightarrowv$.

Ví dụ 9. Cho nhì điểm rành mạch $B,C$ cố định trên con đường tròn $left( O ight)$tâm $O$. Điểm $A$ di động trên $left( O ight)$. Minh chứng khi $A$ di động cầm tay trên $left( O ight)$ thì trực tâm của tam giác $ABC$ di động cầm tay trên một đường tròn.

*

Gọi $H$ là trực trung ương của tam giác $ABC$ cùng $M$ là trung điểm của $BC$. Tia $BO$ giảm đường tròn $(O)$ trên $D$.Vì $widehatBCD=90^0$, yêu cầu $DCparallel AH$. Giống như $ADparallel CH.$Do kia $ADCH$ là hình bình hành.Suy ra $overrightarrowAH=overrightarrowDC=2overrightarrowOM$ không đổi.$Rightarrow T_2overrightarrowOMleft( A ight)=H$.Vì vậy lúc $A$ di động trên tuyến đường tròn $left( O ight)$ thì $H$ di động trên đường tròn $left( O’ ight)=T_2overrightarrowOMleft( left( O ight) ight)$.

Xem thêm: Trái Đất Nặng Bao Nhiêu Tấn, Cách Tính Khối Lượng Trái Đất

Ví dụ 10. Cho tam giác $ABC$ bao gồm đỉnh $A$ chũm định, $widehatBAC=alpha $ không đổi và $overrightarrowBC=overrightarrowv$ ko đổi. Tìm kiếm tập hợp các điểm $B,C$.

Gọi $O$ là trọng tâm đường tròn nước ngoài tiếp tam giác $ABC.$Khi kia theo định lí sin ta bao gồm $fracBCsin alpha =2R$ không thay đổi (do $overrightarrowBC=overrightarrowv$ không đổi).Vậy $OA = R = fracBC2sin alpha $, nên $O$ di động trên đường tròn tâm $A$ bán kính $AO = fracBC2sin alpha .$Ta có $OB = OC = R$ không thay đổi và $widehat BOC = 2alpha $ không đổi suy ra $widehat OBC = widehat OCB$ $ = frac180^0 – 2alpha 2$ không đổi.Mặt khác $overrightarrow BC $ có phương không đổi nên $overrightarrow OB ,overrightarrow OC $ cũng có phương không đổi.Đặt $overrightarrow OB = overrightarrow v_1 $, $overrightarrow OC = overrightarrow v_2 $ không đổi, thì $T_overrightarrow v_1 left( O ight) = B$, $T_overrightarrow v_2 left( O ight) = C.$Vậy tập thích hợp điểm $B$ là đường tròn $left( A_1;fracBC2sin alpha ight)$ ảnh của $left( A,fracBC2sin alpha ight)$ qua $T_overrightarrow v_1 $ và tập vừa lòng điểm $C$ là con đường tròn $left( A_2;fracBC2sin alpha ight)$ ảnh của $left( A,fracBC2sin alpha ight)$ qua $T_overrightarrow v_2 .$