Bài Tập Không Gian Vecto Có Lời Giải

     
Bài viết này cameraquansat24h.vn giới thiệu đến bạn đọc triết lý kèm ví dụ bài bác tập chi tiết về cơ sở của không khí véctơ:


*

1. Cơ sở của không gian véctơ

Trong không gian $mathbbR^n$ mỗi hệ tất cả $n$ véctơ $left P_1,P_2,...,P_n ight$ độc lập tuyến tính được gọi là một trong những cơ sở của không gian $mathbbR^n.$

Ví dụ 1: Hệ bao gồm hai véctơ $P_1=(1,2),P_2=(-2,1)$ là 1 trong những cơ sở của không gian $mathbbR^2$ vị $P_1,P_2$ hòa bình tuyến tính vị không tỉ lệ.Bạn sẽ xem: bài xích tập không gian vecto có lời giải

Ví dụ 2: Hệ gồm ba véctơ $P_1=(1,0,0),P_2=(0,1,0),P_3=(0,0,1)$ là một trong những cơ sở của không khí $mathbbR^3$ vì $P_1,P_2,P_3$ tự do tuyến tính.

Bạn đang xem: Bài tập không gian vecto có lời giải

Ví dụ 3: Hệ gồm n véctơ $E_1=(1,0,0,...,0),E_2=(0,1,0,...,0),...,E_n=(0,0,0,...,1)$ là 1 cơ sở của không gian $mathbbR^n.$

2. Toạ độ của một véctơ đối với một cơ sở

Giả sử hệ véctơ $P_1,P_2,...,P_n$ là 1 trong cơ sở của $mathbbR^n.$ khi đó mọi véctơ $Xin mathbbR^n$ phần đa được màn biểu diễn tuyến tính một giải pháp duy nhất qua hệ véctơ $P_1,P_2,...,P_n$, có nghĩa là luôn tồn tại nhất $n$ số thực $alpha _1,alpha _2,...,alpha _n$ thế nào cho $X=alpha _1P_1+alpha _2P_2+...+alpha _nP_n.$ bộ số $(alpha _1,alpha _2,...,alpha _n)$ được call là toạ độ của véctơ $X$ trong cơ sở $left P_1,P_2,...,P_n ight.$Ta đã hiểu được $(alpha _1,alpha _2,...,alpha _n)$ là nghiệm của hệ tuyến tính gồm ma trận hệ số không ngừng mở rộng $overlineA=left( P_1P_2...P_nX ight)$ trong đó $P_1,P_2,...,P_n,X$ viết bên dưới dạng cột.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng hệ gồm 3 véctơ $v_1=(1,1,1),v_2=(1,1,2),v_3=(1,2,3)$ là một trong những cơ sở của $mathbbR^3$ và tìm toạ độ của véctơ $x=(6,9,14)$ so với cơ sở đó.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng $B=left v_1,v_2,v_3 ight$ là một trong cơ sở của $mathbbR^3$ và tìm toạ độ của véctơ $v$ trong đại lý đó:

a) $v_1=(2,1,1),v_2=(6,2,0),v_3=(7,0,7),v=(15,3,1).$

b) $v_1=(0,1,1),v_2=(2,3,0),v_3=(1,0,1),v=(2,3,0).$

c) $v_1=(1,2,-1),v_2=(2,3,0),v_3=(5,7,2),v=(2,-3,6).$

d) $v_1=(1,2,3),v_2=(1,3,-2),v_3=(2,3,-1),v=(2,-3,17).$

Ví dụ 3: Chứng minh rằng hệ có 4 véctơ $left P_1,P_2,P_3,P_4 ight$ dưới đây

$P_1=(1,2,-1,1),P_2=(5,9,2,-3),P_3=(3,5,5,-1),P_4=(4,7,3,-3)$

là một đại lý của $mathbbR^4$ cùng tìm toạ độ của véctơ $X=(2,2,-3,0)$ trong đại lý đó.

Ví dụ 4: Tìm $m$ nhằm hệ gồm 3 véctơ $P_1=(2,1,1),P_2=(6,2,0),P_3=(7,0,m)$ là 1 trong cơ sở của $mathbbR^3.$

Ví dụ 5: Tìm $m$ nhằm hệ bao gồm 4 véctơ $P_1=(1,2,-1,1),P_2=(5,9,2,-3),P_3=(3,5,5,-1),P_4=(4,7,3,m)$ là 1 trong những cơ sở của $mathbbR^4.$

Ví dụ 6: Cho cho bố véctơ $X_1=(3,-2,4,1),X_2=(-2,1,3,-2),X_3=(-3,-1,k,2).$ tìm kiếm một véctơ $X_4in mathbbR^4$ để hệ véctơ $left X_1,X_2,X_3,X_4 ight$ là 1 cơ sở của $mathbbR^4.$

Giải. Gọi $X_4=(a,b,c,d).$ Xét ma trận A nhận các véctơ $X_1,X_2,X_3,X_4$ làm cho véctơ dòng, tất cả $A = left( eginarray*20c 3& - 2&4&1\ - 2&1&3& - 2\ - 3& - 1&k&2\ a&b&c&d endarray ight).$

Ta bắt buộc tìm $(a,b,c,d)$ thế nào cho $det (A) e 0.$ khai triển theo chiếc 4 có:

$eginarrayc det (A) = aA_41 + bA_42 + cA_43 + dA_44\ = aA_41 + bA_42 + c( - 1)^4 + 3left| eginarray*20c 3& - 2&1\ - 2&1& - 2\ - 3& - 1&2 endarray ight| + dA_44\ = aA_41 + bA_42 + 15c + dA_44. endarray$

Vậy ta chỉ cần chọn $a=b=d=0,c e 0$ lúc ấy $det (A)=15c e 0.$ Vậy $X_4=(0,0,c,0),c e 0.$

Ví dụ 7: Cho cha véctơ $X_1=(2,k,4,-1),X_2=(-3,1,2,k),X_3=(6,-1,-4,-2).$ kiếm tìm một véctơ $X_4in mathbbR^4$ để hệ véctơ $left X_1,X_2,X_3,X_4 ight$ là 1 trong những cơ sở của $mathbbR^4.$

Giải. Gọi $X_4=(a,b,c,d).$ Xét ma trận A nhận những véctơ $X_1,X_2,X_3,X_4$ làm véctơ dòng, tất cả $A = left( eginarray*20c 2&k&4& - 1\ - 3&1&2&k\ 6& - 1& - 4& - 2\ a&b&c&d endarray ight).$ Ta phải tìm $(a,b,c,d)$ làm sao cho $det (A) e 0.$ triển khai theo cái 4 có:

$eginarrayc det (A) = aA_41 + bA_42 + cA_43 + dA_44\ = aA_41 + bA_42 + cA_43 + d( - 1)^4 + 4left| eginarray*20c 2&k&4\ - 3&1&2\ 6& - 1& - 4 endarray ight|\ = aA_41 + bA_42 + cA_43 - 16d. endarray$

Vậy ta chỉ việc chọn $a=b=c=0,d e 0$ lúc ấy $det (A)=-16d e 0.$ Vậy $X_4=(0,0,0,d),d e 0.$

3. Cửa hàng và số chiều của không gian con

Cho L là một không khí con của $mathbbR^3.$ Hệ véctơ $left P_1,P_2,...,P_k ight$ phía trong L được gọi là một cơ sở của L nếu như thoả mãn mặt khác hai điều kiện:

Hệ $left P_1,P_2,...,P_k ight$ độc lập tuyến tính;Mọi véctơ $Xin L$ hầu như được biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ $left P_1,P_2,...,P_k ight.$

Số véctơ của cơ sở của L được gọi là số chiều của L với được kí hiệu là dimL.

Ví dụ 1: Cho không gian con $L=left X=(x_1,x_2,x_3)in mathbbR^3.$ minh chứng rằng hệ bao gồm hai véc tơ $P_1=(1,2,0),P_2=(1,2,1)$ là một cơ sở của L.

Ví dụ 2: Cho không gian con $L=leftx_1+x_3=0 ight.$ tìm kiếm một cửa hàng và số chiều của L.

Ví dụ 4: Cho không khí con $L=left X=(x_1,x_2,x_3)in mathbbR^3(a,b,cin mathbbR;a e 0).$ chứng tỏ rằng hệ bao gồm hai véctơ $P_1=left( -fracba,1,0 ight),P_2=left( -fracca,0,1 ight)$ là 1 trong cơ sở của L.

Giải. Có $ax_1+bx_2+cx_3=0Leftrightarrow x_1=-fracbax_2-fraccax_3(a e 0).$

Vậy $X=left( -fracbax_2-fraccax_3,x_2,x_3 ight)=left( -fracbax_2,x_2,0 ight)+left( -fraccax_3,0,x_3 ight)=x_2left( -fracba,1,0 ight)+x_3left( -fracca,0,1 ight).$

Rõ ràng $P_1=left( -fracba,1,0 ight),P_2=left( -fracca,0,1 ight)$ tự do tuyến tính bởi không tỉ lệ nên hệ bao gồm hai véctơ $P_1=left( -fracba,1,0 ight),P_2=left( -fracca,0,1 ight)$ là 1 cơ sở của L.

Xem thêm: Ram Và Rom Viết Tắt Của Từ Gì ? Những Ý Nghĩa Của Rom Bộ Nhớ Chỉ Đọc

Ví dụ 8: Cho không gian con $L=left X=(x_1,x_2,4x_1-5x_2)in mathbbR^3 ight.$ tìm kiếm một cơ sở và số chiều của L.

Ví dụ 9: Cho không gian con $L=left2x_1+x_2-x_4=0 ight.$ search một cửa hàng và số chiều của L.

Ví dụ 10: Cho không khí con $L=left X=(a+2b-3c,2a-b-c,a+b-2c)in mathbbR^3 ight.$ kiếm tìm một cửa hàng và số chiều của L.

Ví dụ 11: Cho không gian con $L=left X=(a,b,c,d)in mathbbR^4.$ tìm kiếm một cửa hàng và số chiều của L.

Ví dụ 12: Cho không khí con $L=left X=(x_1,x_2,x_3,x_4)in mathbbR^4.$ search một cơ sở và số chiều của L.

Ví dụ 13: Cho không khí con $L=left X=(4x_2+x_3+3,x_2,x_3,-3x_2+x_3)in mathbbR^4 ight.$ tìm một các đại lý và số chiều của L.

Ví dụ 14: Cho không gian con $L=left X=(x_1,x_2,x_3,x_4)in mathbbR^4(a,b,c,din mathbbR;a e 0).$ chứng minh rằng hệ gồm tía véctơ $P_1=left( -fracba,1,0,0 ight),P_2=left( -fracca,0,1,0 ight),P_3=left( -fracda,0,0,1 ight)$ là một trong những cơ sở của L.

Giải. Có $ax_1+bx_2+cx_3+dx_4=0Leftrightarrow x_1=-fracbax_2-fraccax_3-fracdax_4(a e 0).$Vậy

$eginarrayc X = left( - fracbax_2 - fraccax_3 - fracdax_4,x_2,x_3,x_4 ight) = left( - fracbax_2,x_2,0,0 ight) + left( - fraccax_3,0,x_3,0 ight) + left( - fracdax_4,0,0,x_4 ight)\ = x_2left( - fracba,1,0,0 ight) + x_3left( - fracca,0,1,0 ight) + x_4left( - fracda,0,0,1 ight). endarray$

Rõ ràng $P_1=left( -fracba,1,0,0 ight),P_2=left( -fracca,0,1,0 ight),P_3=left( -fracda,0,0,1 ight)$ hòa bình tuyến tính đề nghị hệ có bavéctơ $P_1=left( -fracba,1,0,0 ight),P_2=left( -fracca,0,1,0 ight),P_3=left( -fracda,0,0,1 ight)$ là một cơ sở của L.

Xem thêm: Giải Bài Tập Tiếng Anh 7 Mới, Cách Học Giỏi Tiếng Anh Lớp 7

Hiện tại cameraquansat24h.vn thi công 2 khoá học Toán thời thượng 1 với Toán thời thượng 2 dành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành tài chính của tất cả các trường:

Sinh viên các trường ĐH sau đây hoàn toàn có thể học được bộ combo này:

- ĐH kinh tế Quốc Dân

- ĐH ngoại Thương

- ĐH thương Mại

- học viện Tài Chính

- học viện chuyên nghành ngân hàng

- ĐH kinh tế tài chính ĐH giang sơn Hà Nội

và các trường đại học, ngành kinh tế tài chính của các trường ĐH khác trên mọi cả nước...