Bài tập đạo hàm cấp cao có lời giải

     

Cho hàm số có đạo hàm trên . Gọi là số gia của biến số tại . Ta call tích

*
là vi phân của hàm số f(x) trên điểm ứng cùng với số gia . Kí hiệu
*
.

Cho hàm số gồm đạo hàm tại x. Ta điện thoại tư vấn tích

*
là vi phân của hàm số f(x) trên điểm x ứng với số gia (gọi tắt là vi phân của f tại điểm x). Kí hiệu
*
. Nếu tìm hàm số
*
thì ta có
*
. Bởi vậy ta hay kí hiệu
*
*
.

Công thức tính ngay gần đúng nhờ vào vi phân là:

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

DẠNG 1: kiếm tìm vi phân của hàm số

PHƯƠNG PHÁP

a). Tính vi phân của hàm số f(x) trên đến trước:

Tính đạo hàm của hàm số tại .

Suy ra vi phân của hàm số tại ứng cùng với số gia là

*
.

b). Tính vi phân của hàm số f(x).

Tính đạo hàm của hàm số .

Suy ra vo phân của hàm số:

*




Bạn đang xem: Bài tập đạo hàm cấp cao có lời giải

Ví dụ 1: đến hàm số

*
. Tính vi phân của hàm số tại điểm , ứng với số gia .


LỜI GIẢI

Ta tất cả

*
. Cho nên vi phân của hàm số trên điểm , ứng với số gia là:
*
.

Ví dụ 2: Tính vi phân của những hàm số sau:

a).

*
b).
*
c).
*
d).
*

LỜI GIẢI

a). Ta tất cả

*

suy ra

*

DẠNG 2: Tính gần giá chuẩn trị của hàm số:

Để tính gần đúng giá trị của hàm số f(x) tại điểm

*
đến trước, ta áp dụng công thức .


Ví dụ tính sát đúng các giá trị sau (lấy 4 chữ số thập phân vào kết quả).

a).

*
b).
*
c).
*
d).
*

e).

*
.


LỜI GIẢI

a). Ta có

*
. Xét hàm số
*

chọn

*
cùng
*
, ta gồm

*

b). Ta gồm

*
.

Xét hàm số

*
.

Chọn

*
*
, ta gồm .

*
.

c). Ta gồm

*
.

Xét hàm số

*

Chọn

*
*
, ta có .

*

d). Ta có

*
.

Xét hàm số

*
.

Chọn cùng

*
, ta tất cả .

*
.

e).

*
.

Xét hàm số

*
.

Chọn

*
*
, ta bao gồm .

*
.

5.ĐẠO HÀM CẤP CAO

A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.

1. Mang lại hàm số

*
có đạo hàm . Hàm số còn gọi là đạo hàm cung cấp 1 của hàm số . Nếu như hàm số có đạo hàm thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm cấp cho 2 của hàm số , kí hiệu là y’’ tuyệt
*
. Đạo hàm của đạo hàm cấp 2 được call là đạo hàm cấp 3 của hàm số , kí hiệu là y’’’ tuyệt f’’’
*
. Tương tự, ta gọi đạo hàm của đạo hàm cấp cho
*
là đạo hàm cấp cho n của hàm số , kí hiệu là
*
giỏi
*
, tức là ta có:

*
.

2.Đạo hàm cung cấp 2 của hàm số f(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s=f(t) tại thời khắc t.

B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.

DẠNG 1: Tính đạo hàm cấp cao của hàm số.

1.PHƯƠNG PHÁP

Áp dụng trực tiếp định nghĩa:

*
nhằm tính đạo hàm đến cấp mà đề bài yêu cầu.




Xem thêm: Một Sự Kiện Lịch Sử Có Ý Nghĩa To Lớn Diễn Ra Năm 1945, Cách Mạng Tháng Tám Năm 1945

Ví dụ: Tính đạo hàm đến cấp cho đã chỉ ra của những hàm số sau:

a).

*
b).
*
c).
*

d).

*
e).
*
f).


LỜI GIẢI

a). Tất cả

*

*

*

*
.

b). Ta tất cả

*

*

c).

*

*

*
.

d).

*

*

*

e).

*

*

*

f).

*

*

DẠNG 2: tìm đạo hàm cung cấp n của một hàm số

PHƯƠNG PHÁP

Bước 1: Tính . Dựa vào các đạo hàm vừa tính, dự đoán công thức tính .

Bước 2: minh chứng công thức vừa dự đoán là đúng bằng phương thức quy nạp.

Chú ý: cần phân tích kĩ các tác dụng của đạo hàm đưa ra quy luật để tham dự đoán bí quyết bao gồm xác.


Ví dụ 1: tra cứu đạo hàm cấp cho n của hàm số

*


LỜI GIẢI

Bước 1: Ta có:

*

Dự đoán:

*

Bước 2: minh chứng bởi quy nạp:

*
minh bạch đúng.

trả sử đúng với nghĩa là ta có:

*
ta phải minh chứng thờ đúng cùng với tức là ta phải chứng tỏ

*

Thật vậy : vế trái

*
=vế yêu cầu
*
đúng, tức là đúng với

Bước 3: theo nguyên lí quy nạp suy ra

*




Xem thêm: Dầu Mỡ Trong Tự Nhiên Có Thành Phần Chính Là Hay Nhất 2022, Dầu Mỡ Trong Tự Nhiên Có Thành Phần Chính Là

Ví dụ 2: tra cứu đạo hàm cấp cho n của hàm số

*


LỜI GIẢI

Ta có:

*

*

Dự đoán:

*

Chứng minh bằng cách thức quy nạp:

*
phân minh đúng.

mang sử đúng với , tức là ta có:

*
ta phải chứng minh cúng đúng với , nghĩa là ta đề xuất chứng minh: